牛顿法求平方根

牛顿迭代法快速寻找平方根

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万能的牛顿，数学zhazha，膜拜中。。。

下面这种方法可以很有效地求出根号a的近似值：首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。例如，我想求根号2等于多少。假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但你可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：

( 4 + 2/ 4 ) / 2 = 2.25
( 2.25 + 2/ 2.25 ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..
….

这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用(x,f(x))的切线来逼近方程x^2-a=0的根。根号a实际上就是x^2-a=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。也就是说，函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么，x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入f(x)=x^2-a得到x-(x^2-a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。

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也就是说给你你任意一个整数x，我任猜它的平方根为y，如果不对或精度不够准确，那我令y = (y+x/y)/2。如此循环反复下去，y就会无限逼近x的平方根。

代码如下

#include <iostream>#include <cstdio>using namespace std;double sqr(double x){    double k=x;    while(k*k-x>1e-9)        k=0.5*(k+x/k);    return k;}int main(){    double x;    while(cin>>x)        printf("%.9lf\n",sqr(x));    return 0;}