Floyd-算法--任意两点间的最短路问题

      求解所有两点间的最短路的问题叫做任意两点间的最短路问题。让我们试着用DP来求解任意两点间的最短路问题。只使用0~k的情况下，记i到j的最短路长度为d[k+1][i][j]。k=-1时，认为只使用i和j，所以d[0][i][j]=cost[i][j]。接下来让我们把只使用顶点0~k的问题归纳到只使用0~k-1的问题上。

      只使用0~k时，我们分i到j的最短路正好经过顶点k和完全不经过顶点k两种情况来讨论。不经过顶点k的情况下，d[k][i][j]=d[k-1][i][j]。通过顶点k的情况下，d[k][i][j]=d[k-1][i][k]+d[k-1][k][j]。合起来，就得到了d[k][i][j]=min(d[k-1][i][k],d[k-1][k][j])。这个DP也可以使用同一个数组，不断进行d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])的更新来实现。

      这个算法叫做Floyd-Warshall算法，可以在O(|v|³)时间里求得所有两点间的最短长度。Floyd-Warshall算法和Bellman-Ford算法一样，可以处理边是负数的情况。而判断图中是否有负圈，只需要检查是否存在d[i][i]是负数的顶点i就可以了。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<iostream>const int Max_n=1100;const int inf=0x3f3f3f3f;using namespace std;int n,m;int d[Max_n][Max_n],path[Max_n][Max_n];int main(){    scanf("%d%d",&n,&m);    for(int i=1;i<=n;i++) //初始化        for(int j=1;j<=n;j++){            d[i][j]=inf;            path[i][j]=j;            if(i==j)d[i][j]=0;    }    int a,b,c;    for(int i=1;i<=m;i++) {        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);        d[a][b]=c;    }    for(int k=1;k<=n;k++) //Floyd算法        for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=1;j<=n;j++) {                if(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j]) {                    d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];                    path[i][j]=path[i][k];                }            }    int st, ed; //st与ed之间的路径    scanf("%d%d",&st,&ed);    while (st!=ed) {        printf("%d->",st);        st=path[st][ed];    }    printf("%d\n",ed); //    for(int i=1;i<=n;i++){ //打印path[]//        for(int j=1;j<=n;j++)//            printf("%d ",path[i][j]);//        putchar('\n');//    }    return 0;}

     Floyd算法的具体实现过程，参见：http://developer.51cto.com/art/201403/433874.htm。