如何证明treap数插入的期望旋转次数小于2

介绍

树堆，在数据结构中也称Treap，是指有一个随机附加域满足堆的性质的二叉搜索树，其结构相当于以随机数据插入的二叉搜索树。其基本操作的期望时间复杂度为O(logn)。

对于插入

给节点随机分配一个优先级，先和二叉排序树的插入一样，先把要插入的点插入到一个叶子上，然后跟维护堆一样，如果当前节点的优先级比父亲大就旋转，如果当前节点是父亲的左儿子就右旋，如果当前节点是父亲的右儿子就左旋。

证明

在这里我们先假设优先级的分布是稠密的。
如果不是稠密的，可以通过映射来构造一个稠密的分布：
把优先级从小到大排序，然后把优先级直接用序号代替。这样就得到了一个稠密的分布
设我们要插入的节点的优先级为X，treap里面最大的优先级为Limit，简称L。
首先，如果X≥L,那么就不用旋转。
所以我们讨论X≤L 的情况

我们可以得到树高

High≈log2L

而我们的X 的目标树高为

aimHigh≈log2X

每次旋转,X都会减少一层树高（升上去了）
所以我们的旋转次数

Spin=High−aimHigh≈log2L−log2X

由于我们的X是在[0,L] 内等可能的
那么期望旋转次数为加权平均数

∑X=0L1L∗(log2L−log2X)

即

1L∫L0(log2L−log2X)dX

=1Lln2[lnL∗x−lnX∗X+X]L0

=1ln2−0=1.44

证明完毕.