动态规划算法

算法（Algorithm）是指解题方案的准确而完整的描述，是一系列解决问题的清晰指令，算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。下面将详细介绍一下动态规划算法的概念，基本要素以及设计动态规划算法的步骤。

动态规划算法的概念

动态规划算法,动态规划的基本思想是将待求解问题分解成若干子问题。先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。分解得到的子问题往往不是互相互独立的，动态规划算法适用于解最优化问题。通常可以按以下4个步骤设计：

（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征。

（2）递归地定义最优值。

（3）以自底向上的方式计算出最优值。

（4）根据计算最优值得到的信息，构造最优解。

下面以矩阵连乘问题为例子，运用动态规划算法分析。

矩阵连乘问题

完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：

（1）单个矩阵是完全加括号的；

（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=（BC）。

看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50 按此顺序计算需要的次数((A1*A2)A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此顺序计算需要的次数(A1(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=52500次。

设有四个矩阵A、B、C、D，它们的维数分别是A=50*10，B=10*20，C=20*40，D=40*25。它们有5种不同的完全加括号的方式：如(((AB)C)D)等。给定n个矩阵{A1,A2，A3……An},其中Ai和A(i+1)是可乘的，i=1,2,3……n-1。考察n个矩阵的连乘积A1A2A3…An。

由于矩阵乘法满足结合律，所以计算矩阵的连乘可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

解决矩阵连乘问题首先想到的是穷举法：列举出所有可能的计算次序，并计算出每一种计算次序相应需要的数乘次数，从中找出一种数乘次数最少的计算次序。 但是穷举法所做的计算量太大。通过分析可以得出计算次序P（n）是随n的增长呈指数增长。因此穷举法不是一个有效的算法。

其次我们可以用动态规划的思想去分析这个问题：

设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。

当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n。

当i

动态规划算法之矩阵连乘问题C语言实现

C语言实现矩阵连乘的完整代码：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define MAX_MATRIXNUM 100              //声明最大矩阵数int p[MAX_MATRIXNUM+1 ], m[MAX_MATRIXNUM+1 ][MAX_MATRIXNUM+1 ], s[MAX_MATRIXNUM +1][MAX_MATRIXNUM+1];//定义三个数组，其中p数组中存放矩阵下标，m数组存放最优值，s数组存放最优断开位置void matrix_chain(int num);       //函数声明void traceback(int i, int j);          //函数声明int main(int argc, char **argv)       //主函数{    while (1)    {        int i, num;        char ctr;        printf("请输入矩阵的个数(不超过100): ");        //输入矩阵个数        scanf("%d", &num);        getchar();                                                  //吸收回车符        printf("\n");        printf("请输入每个矩阵的下标: ");                  //输入矩阵下标        for (i = 0; i <= num; i++) {            scanf("%d", &p[i]);        }        getchar();                              //吸收回车符        printf("\n");        matrix_chain(num);            //调用函数matrix_chain        traceback(1, num);             //调用函数traceback        printf("\n");        printf("\n");        printf("是否想继续进行矩阵连乘算法？Y/N：");          //判断是否退出矩阵连乘的算法        scanf("%c", &ctr);        printf("\n");        if (ctr == 'N')break;        printf("--------------------------------------------------------------------------------\n");    }    return 0;} void matrix_chain(int num)                  //函数体，计算最优值{    for (int i = 1; i <= num; i++)  m[i][i] = 0;    for (int r = 2; r <= num; r++) {        for (int i = 1; i <= num - r + 1; i++) {            int j = i + r - 1;            m[i][j] = m[i+1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];            s[i][j] = i;            for (int k = i+1; k < j; k++) {                int temp = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];                if (temp < m[i][j]) {                    m[i][j] = temp;                    s[i][j] = k;                }            }        }    }    printf("矩阵连乘的最少数乘次数 = %d\n", m[1][num]);} void traceback(int i, int j)                   //函数体，构造最优解{    if (i == j) {        printf("A%d", i);    }    if (i < j) {        printf("(");        traceback(i, s[i][j]);        traceback(s[i][j] + 1, j);        printf(")");    }}