Bresenham算法理解

Bresenham

bresenham算法是计算机图形学中为了“显示器（屏幕或打印机）系由像素构成”的这个特性而设计出来的算法，使得在求直线各点的过程中全部以整数来运算，因而大幅度提升计算速度。

实现代码

这篇文章主要对下面的代码进行解释，如果能够理解下面的代码，完全可以跳过这篇文章。

// 来源:https://rosettacode.org/wiki/Bitmap/Bresenham%27s_line_algorithm#Cvoid line(int x0, int y0, int x1, int y1) {  int dx = abs(x1-x0), sx = x0<x1 ? 1 : -1;  int dy = abs(y1-y0), sy = y0<y1 ? 1 : -1;   int err = (dx>dy ? dx : -dy)/2, e2;  for(;;){    setPixel(x0,y0);    if (x0==x1 && y0==y1) break;    e2 = err;    if (e2 >-dx) { err -= dy; x0 += sx; }    if (e2 < dy) { err += dx; y0 += sy; }  }}

直线方程

众所周知，最基本的斜截式直线方程为y=kx+b(k为斜率,b为截距)。这个方程存在的缺点是无法表示直线x=α，所以用一个新的方程来代替Ax+By+C=0。

Bresenham

Bresenham画直线的算法主要步骤是判断下一点的位置。维基百科中有一张图比较形象

图中，每一个点代表的是一个像素，假定我们有直线f(x,y)且当前坐标为(x,y)，判断下一个点的y轴坐标步骤为（如果要确定x轴坐标也类似）：

代码理解

如上面所述，我们现在能够判断直线的下一个像素点在那里了，但是Bresenham算法的优点还没有体现：我们还需要计算浮点数。为了避免浮点数计算，我们要更深入地发现划线的规律。

这里我们只考虑x1<x2并且y1<y2的情况，实际上我们也只需要考虑这种情况，正如前面代码所写的sx, sy，通过这两个变量我们便能控制要画的直线方向是正确的。

• Bresenham的输入为两个点(x1,y1),(x2,y2)。根据这两个点，我们能够计算出两点之间的“距离“。这里的距离用的是绝对值，对应的是代码里的dx, dy。
  
  Δx=|x1−x2|Δy=|y1−y2|
  
  根据斜截式y=kx+b，我们有y=ΔyΔxx+b，进而有
  
  Δyx−Δxy+C=0
  
  在这条公式中：
  
  x+1⇒y+ΔyΔxy+1⇒x+ΔxΔy
• 实际上，用于判断下一个点的位置的就是ΔyΔx和ΔxΔy。这两个值变化的根本目的是使上面的方程成立，根据这一点，我们直接引入一个变量err避免整数运算（对应代码中的err和e2）
  
  Δyx−Δxy+C+err=0x+1⇒err−Δyy+1⇒err+Δx
• 现在我们已经能够将 err 和 x,y 联系起来，但是还有一个很重要的问题没有解决：判断增加x轴坐标还是增加y轴坐标
  首先假设我们在起始坐标(x,y)，当前的err也是正确的，现在需要判断下一个点的坐标。
  根据传统的Bresenham算法：
  
  (x+ΔxΔy)−(x+1)>0⇒Δx−Δy>0⇒x+1(y+ΔyΔx)−(y+1)>0⇒Δy−Δx>0⇒y+1
  
  我们更关注中间的部分，结合上一点所说的err和Δx,Δy的关系对其进行变形
  
  Δx−Δy>0⇒−Δy>−ΔxΔy−Δx>0⇒+Δx<Δy
• 从上面的公式看来似乎是与err有点关系了，但是还不明确，那是因为我们的推到基于起始点，倘若基于的不是起始点，那么该公式应当为
  
  Δx−Δy>0⇒ε−Δy>−ΔxΔy−Δx>0⇒ε+Δx<Δy
  
  ε为一个累加值，其来源与当前点(x,y)和起始点(x0,y0)的相对位置有关，个人理解是：每一次x+1或y+1都会让原来的直线平移，这个平移便会造成误差，而这个误差会随着程序的进行而不断累加，而这个累加值对应的正是err
• 现在我们就有能力将err和程序中的err联系起来了。
  if后的条件与上面的公式对应，而err与ε不同。不同之处是：err是已经计算好的ε−Δy和ε+Δx。我们可以这样思考：在某一个点(x,y)处，我们已经计算得到了正确的、可以用于判断的err，当我们选择下一个点时，我们可以顺便把下一个点的err给计算了，这就是代码中err -= dy; err += dx;蕴含的意思。

if (e2 >-dx) { err -= dy; x0 += sx; }if (e2 < dy) { err += dx; y0 += sy; }

• 至此，Bresenham算法理解完成。