§第四章第五节向量空间
一、向量空间的概念
定义7.设V为n维的向量空间集合,如果集合V非空,且满足(1)若∀α∈V,β∈V,则α+β∈V;(2)若∀α∈V,λ∈R,则λα∈V.那么就称集合V为向量空间.
注：定义中的(1)、(2)两条称为对加法及数乘两种运算封闭.
例1.(1)3维向量的全体R 3 是一个向量空间.(2)n维向量的全体R n 也是一个向量空间.
例2.验证集合V 0 ={x=(0,x 2 ,⋯,x n ) T |x 2 ,⋯,x n ∈R}是否是一个向量空间.
解:∵∀α∈V 0 ,β∈V 0 ,λ∈R,有α+β=(0,α 2 ,⋯,α n ) T +(0,b 2 ,⋯,b n ) T =(0,α 2 +b 2 ,⋯,α n +b n ) T ∈V 0 λα=(0,λα 2 ,⋯,λα n ) T ∈V 0 ∴V 0 是一个向量空间.
例3.验证集合V 1 ={x=(1,x 2 ,⋯,x n ) T |x 2 ,⋯,x n ∈R}是否是一个向量空间.
解:∵∀α∈V 1 ,β∈V 1 ,λ≠1,有α+β=(1,α 2 ,⋯,α n ) T +(1,b 2 ,⋯,b n ) T =(2,α 2 +b 2 ,⋯,α n +b n ) T ∉V 1 λα=(λ,λα 2 ,⋯,λα n ) T ∉V 1 ∴V 1 不是一个向量空间.
例4.设α和β为两个已知的n维向量,验证集合V={x=λα+μβ|λ,μ∈R}是一个向量空间.
解:取x 1 =λ 1 α+μ 1 β∈V,x 2 =λ 2 α+μ 2 β∈V,k∈R.则有x 1 +x 2 =(λ 1 +λ 2 )α+(μ 1 +μ 2 )β∈V,kx 1 =(kλ 1 )α+(kμ 1 )β∈V.∴V是一个向量空间.注:我们称如上构成的向量空间为由α、β所生成的向量空间.
一般地,由向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α m 所生成的向量空间为:V={x=λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ m α m |λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ m ∈R}.
例5.设向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α m 与向量组b 1 ,b 2 ,⋯,b s 等价,记:V 1 ={x=λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ m α m |λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ m ∈R},V 2 ={x=μ 1 b 1 +μ 2 b 2 +⋯+μ s b s |μ 1 ,μ 2 ,⋯,μ s ∈R},试证:V 1 =V 2 .
证:∀x∈V 1 ,则x可由α 1 ,α 2 ,⋯,α m 线性表示.因α 1 ,α 2 ,⋯,α m 可由b 1 ,b 2 ,⋯,b s 线性表示,故x可由b 1 ,b 2 ,⋯,b s 线性表示,所以x∈V 2 .即∀x∈V 1 ,则x∈V 2 ,因此V 1 ⊂V 2 .同理可证∀x∈V 2 ,则x∈V 1 ,因此V 2 ⊂V 1 .∵V 1 ⊂V 2 ,V 2 ⊂V 1 ;∴V 1 =V 2 .
定义8.设有向量空间V 1 及V 2 ,若V 1 ⊂V 2 ,就称V 1 是V 2 的子空间.
(1)任何由n维向量所组成的向量空间V,总有V⊂R n ,所以这样的向量空间总是R n 的子空间.(2)例2中的V 0 也是R n 的子空间.(3)例4中的由n维向量α和β所生成向量空间也是R n 的子空间.
二、向量空间的基与维数
定义9.设V为向量空间,如果r个向量α 1 ,α 2 ,⋯,α r ∈V,且满足(1)α 1 ,α 2 ,⋯,α r 线性无关;(2)V中任一向量都可由α 1 ,α 2 ,⋯,α r 线性表示;那么，向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α r 就称为向量空间V的一个基,r称为向量空间V的维数,并称V为r维的向量空间.
1.如果向量空间V没有基,那么V的维数为0.
2.0维的向量空间只有一个零向量.
3.若把向量空间V看作向量组,则V的基就是向量的极大无关组,V的维数就是向量组的秩.
4.V 0 ={x=(0,x 2 ,⋯,x n ) T |x 2 ,⋯,x n ∈R}的一个基为:e 2 =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 01⋮0 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,⋯,e n =⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 00⋮1 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 所以V 0 是一个n−1维的向量空间.
5.由向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α m 所生成的向量空间,V={x=λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ m α m |λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ m ∈R}.显然,向量空间V与向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α m 等价,所以向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α m 的极大无关组就是V的一个基,α 1 ,α 2 ,⋯,α m 的秩就是V的维数.
6.若向量空间V⊂R n ,则V的维数不会超过n.并且,当V的维数为n时,V=R n .
7.若向量组α 1 ,α 2 ,⋯,α r 是向量空间V的一个基,则V可表示为V={x=λ 1 α 1 +λ 2 α 2 +⋯+λ r α r |λ 1 ,λ 2 ,⋯,λ r ∈R}.这清楚地给出一个向量空间V的构造方法.
例6.设A=(α 1 ,α 2 ,α 3 )=⎛ ⎝ ⎜ 22−1 2−12 −122 ⎞ ⎠ ⎟ ,B=(b 1 ,b 2 )=⎛ ⎝ ⎜ 10−4 432 ⎞ ⎠ ⎟ ,验证α 1 ,α 2 ,α 3 是R 3 的一个基,并把b 1 ,b 2 用这个基线性表示.
解:要证α 1 ,α 2 ,α 3 是R 3 的一个基，只需证α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关，即证A∼E即可.设b 1 =x 11 α 1 +x 21 α 2 +x 31 α 3 b 2 =x 12 α 1 +x 22 α 2 +x 32 α 3 即(b 1 ,b 2 )=(α 1 ,α 2 ,α 3 )⎛ ⎝ ⎜ x 11 x 21 x 31 x 12 x 22 x 32 ⎞ ⎠ ⎟ ,记作：B=AX.对矩阵(A|B)施以初等行变换,若A能变成E,则α 1 ,α 2 ,α 3 为R 3 的一个基,且当A变成E时,B变成X=A −1 B.(A|B)=⎛ ⎝ ⎜ 22−1 2−12 −122 10−4 432 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 11−1 412 142 −3−4−4 652 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 4−36 133 −3−1−7 6−18 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 1−30 439 −4−1−9 5−16 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 1−30 433 −4−1−3 5−12 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ 100 1−30 103 −12−3 3−32 ⎞ ⎠ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ 100 110 101 −1−23 −1 3123 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ∼⎛ ⎝ ⎜ ⎜ 100 010 001 23 −23 −1 43 123 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ A∼E,故α 1 ,α 2 ,α 3 是R 3 的一个基,且(b 1 ,b 2 )=(α 1 ,α 2 ,α 3 )⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 23 −23 −1 43 123 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
三、过度矩阵与坐标变换
1.过度矩阵
设n维向量空间V的两组基为A:α 1 ,α 2 ,⋯,α n B:β 1 ,β 2 ,⋯,β n 由于A组基与B组基等价,所以
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ β 1 =c 11 α 1 +c 21 α 2 +⋯+c n1 α n β 2 =c 12 α 1 +c 22 α 2 +⋯+c n2 α n ⋯⋯⋯⋯⋯⋯β n =c 1n α 1 +c 2n α 2 +⋯+c nn α n
即(β 1 ,β 2 ,⋯,β n )=(α 1 ,α 2 ,⋯,α n )C称矩阵C为由基α 1 ,α 2 ,⋯,α n 到β 1 ,β 2 ,⋯,β n 的过渡矩阵.其中C=⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ c 11 c 21 ⋯c n1 c 12 c 22 ⋯c n2 ⋯⋯⋯⋯ c 1n c 2n ⋯c nn ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟
2.基坐标
设向量v在两个基α 1 ,α 2 ,⋯,α n 和β 1 ,β 2 ,⋯,β n 下坐标分别为x 1 ,x 2 ,⋯,x n 和y 1 ,y 2 ,⋯,y n ,则∀v∈V有v=x 1 α 1 +x 2 α 2 +⋯+x n α n =y 1 β 1 +y 2 β 2 +⋯+y n β n 即v=(α 1 ,α 2 ,⋯,α n )⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 ⋮x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =(β 1 ,β 2 ,⋯,β n )⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ y 1 y 2 ⋮y n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,将(β 1 ,β 2 ,⋯,β n )=(α 1 ,α 2 ,⋯,α n )C代入上式,得v=(α 1 ,α 2 ,⋯,α n )C⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ y 1 y 2 ⋮y n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,两端都乘以A −1 ,得⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 ⋮x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =C⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ y 1 y 2 ⋮y n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ,或⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ y 1 y 2 ⋮y n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =C −1 ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x 1 x 2 ⋮x n ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ .
例7.已知R 3 的两组基分别为A:α 1 =⎛ ⎝ ⎜ a11 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 2 =⎛ ⎝ ⎜ 0b1 ⎞ ⎠ ⎟ ,α 3 =⎛ ⎝ ⎜ 00c ⎞ ⎠ ⎟ ,B:β 1 =⎛ ⎝ ⎜ −1−1x ⎞ ⎠ ⎟ ,β 2 =⎛ ⎝ ⎜ y−11 ⎞ ⎠ ⎟ ,β 3 =⎛ ⎝ ⎜ −1z1 ⎞ ⎠ ⎟ ,且由基α 1 ,α 2 ,α 3 到β 1 ,β 2 ,β 3 的过渡矩阵为C=⎛ ⎝ ⎜ −100 112 −120 ⎞ ⎠ ⎟ ,求a、b、c及x、y、z
解:由基坐标变换公式:⎛ ⎝ ⎜ −1−1x y−11 −1z1 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ a11 0b1 00c ⎞ ⎠ ⎟ ⎛ ⎝ ⎜ −100 112 −120 ⎞ ⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ −a−1−1 a1+b2c+2 −a2b−11 ⎞ ⎠ ⎟ 根据矩阵相等，其对应元素相等得
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ a=1b=−2c=−12 x=−1y=1z=−5
