漫步线性代数八——向量空间和子空间
来源:互联网 发布:ogame源码 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 20:20
消元简化了线性方程组
但消去只有得到了一种
为了给出向量空间的概念,我们首先介绍一下最重要的空间,他们用
线性代数有价值的就是到
我们可以将任意两个向量相加,我们可以用标量和向量相乘。换句话说,我们可以进行线性组合。
加法满足交换律
一般情况我们讨论的向量都是属于空间
- 无限维空间
R∞ ,它的向量有无限多个元素,就像x=(1,2,1,2,…) ,x+y,cx 法则依然成立。 3×2 矩阵的空间,这种情况下向量就是矩阵!我们能够将两个矩阵相加并且A+B=B+A ,存在零矩阵等等,这个空间几乎和R6 一样。(六个元素组织在矩阵里而不是一列)对于任何m,n ,类似的将得到m×n 矩阵的向量空间。- 函数
f(x) 空间,对于任何定义在闭区间上例如0≤x≤1 的函数f ,都属于该空间。像f(x)=x2,g(x)=sinx,(f+g)(x)=x2+sinx,3x2,−sinx 等等,这些向量是函数,它的维数比R∞ 还要大
我们想描述向量空间并解释为什么他们如此重要。几何上,考虑常见的三维
定义:向量空间的子空间是非空子集,它满足线性空间的要求:线性组合。
- 如果将子空间里的任意向量
x,y 相加,x+y 在子空间内。 - 如果将子空间里的任意向量
x 和任意标量c 相乘,cx 在子空间内。
注意我们强调空间这个词,子空间是一个子集,它对加法和标量乘法封闭。这些操作跟随主空间的规则,在子空间内部依然保持,八条性质更大的空间都是满足的,因此在每个子空间里自动满足。特别需要注意的是零向量属于每一个子空间,因为根据第二条性质:我们选择标量
最小的子空间
子空间和子集合是有区别的,在没有空间的前提下能够进行向量加法和标量乘法吗?
例1:考虑
如果我们包含一三象限,那么标量乘法也满足。然而,法则1 将不满足,因为
例2:从
矩阵的列空间
现在我们看一个比较关键的例子,矩阵
当
1、对于
这段描述只是从列的角度重述了
注意问题是:找出
我们有效的
我们可以从几何上描述列的所有线性组合:对于
重要的是,这个平面不仅仅是
- 列假设
b,b′ 位于列空间上,也就是存在x,x′ 使得Ax=b,Ax′=b′ ,那么A(x+x′)=b+b′ ,所以b+b′ 也是列的线性组合,所以列空间对加法是封闭的。 - 如果
b 在列空间C(A) 里,那么cb 也在里面。如果某个列的组合(Ax=b )得到b ,那么组合乘以c 将得到cb ,也就是说A(cx)=cb 。
图1
对于另一个矩阵A ,图1中的维数可能不同,最小的列空间是A=0 ,唯一的列组合是b=0 。另一个极端的例子是,假设A 是5×5 单位矩阵,那么C(I) 就是整个R5 空间;I 的五个列空间可以组合出任何五维向量b ,这不是单位矩阵特有的,任何5×5 的非奇异矩阵它的列空间都是整个R5 空间,对于这样的矩阵我们可以用高斯消元法求解Ax=b ;有五个主元,因此对每个非奇异矩阵,b 都位于C(A) 中。
对于奇异矩阵和任何形状的长方形矩阵,
零空间
矩阵的零空间由所有
规则1满足:如果
第一个方程给出
当第三列是前两列的组合式,情况就发生了变化:
向量
- 漫步线性代数八——向量空间和子空间
- 漫步线性代数十四——正交和子空间
- 漫步线性代数十一—— 四个基本子空间
- 线性代数导论14——正交向量与子空间
- 线性代数导论14——正交向量与子空间
- 线性代数复习六——向量空间
- 【线性代数】正交向量与正交子空间
- 线性代数 -- 正交向量与子空间
- 线性代数笔记(1):向量空间与子空间
- 线性代数(五) :子空间及向量张成的空间
- 线性代数笔记(1):向量空间与子空间
- 【线性代数】向量空间
- MIT线性代数--向量空间
- 线性代数 04.05 向量空间
- 线性代数导论5——转置-置换-向量空间R
- 重温线性代数(2)——向量空间
- 线性代数导论5——转置-置换-向量空间R
- 线性代数5——转置、置换、向量空间R
- ML 算法之TF-IDF
- PhpStorm的安装激活与项目创建
- 【POJ 1383 Labyrinth】
- 黄阶中级 - 操作系统 - 导论 - 修改0次
- [原创]Warning: Failed prop type: Invalid prop `enablesReturnKeyAutomatically` of type `string` supplie
- 漫步线性代数八——向量空间和子空间
- zzu数学 实验一泰勒级数
- git上传大文件-http无法满足
- ARM概念梳理:Architecture, Core, CPU,SOC
- GCC编译错误 There are no arguments to 'X' that depend on a template parameter, so a declaration of 'X' m
- JosephusProblem未简化版
- 简单的方块堆叠实现
- 仿美团实现地域选择和城市列表
- 使用SQL语句实现分组的第一天