UVa 10213 How Many Pieces of Land (欧拉定理)

题解:根据欧拉定理V+F-E = 2，V是点数，E是边数，F是面数

欧拉公式V−E+F=2所以找出顶点数和边数就行了，枚举两个点，在左半边的如果有i个，右边有n−i−2个，交点个数i∗(n−i−2)，然后这条线段被分成了i∗(n−i−2)+1部分，然后外围凸包上的边有n条，圆弧分成了n段，所以V，E就能算出来了。

V=n+n4∑i=1n−3i(n−2−i)因为经过交点的有两条线会被求4次

E=2n+n2∑i=1n−3(i(n−2−i)+1)因为边又两个点会被求2次所以n/2

上面外加的n，2n是因为刚才本身的点和相邻的边没有算

化简一下就是124(n4−63+23n2−18n)+1

因为n比较大用long long 数值会爆所以我们可以用__int128操作

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<set>#include<vector>#include<queue>#include<stack>#include<map>using namespace std;#define rep(a,b) for(int i = a; i <= b; i++)#define dec(a,b) for(int i = a; i >= b; i--)#define root 1,1,n#define ls 2*rt#define rs 2*rt+1#define mid (L+R)/2#define lson ls,L,mid#define rson rs,mid+1,R#define fi first#define se secondtypedef long long int ll;const int mx = 1e5+5;void print(__int128 ans){if(ans==0)return;print(ans/10);printf("%d",ans%10);//print(ans/10);}int main(){int n;int t;scanf("%d",&t);while(t--){scanf("%d",&n);__int128 x = n;__int128 ans = (x*x*x*x + 23*x*x-6*x*x*x-18*x)/24+1;print(ans);puts("");}return 0;}

124(n4−63+23n2−18n)+1