Kruskal算法

Kruskal算法，克鲁斯卡尔算法又称避圈法。

Kruskal算法主要是用来找无向图的最小生成树的 。

Kruskal算法的思想和步骤：

1.用结构体数组存储每条边的信息，并对数组按边的大小从小到大进行排序。

2.按照从小到大的顺序，依次将边加入到生成子图中，若加入该边会构成环，则不能加入该边；直至所有的点都已经被加入或者加入了n-1条边。

可以用反证法来证明一下Kruskal算法：

先考虑一条边不一样的情况：如果有更好的方案，与原方案只有一条边不一样。我们对边按从小到大的顺序编号，显然这条边比原方案同序号边的权值要小，但是根据克鲁斯卡尔算法的步骤，显然这是不成立的，因为比原方案同序号边的权值小的边都会与前面的边构成环。

然后考虑两条边的情况：如果有更好的方案，与原方案只有两条边不一样。1.如果这两条不同的边不相邻，和一条边情况一样，显然不成立。2.如果这两条边是相邻的，设其中一条边的序号为i，另一条为i+1，则有Ei+Ei+1<Ei-1+Ei-2，但是根据推理，Ei与Ei+1不能同时存在。

然后考虑多条边的情况：与上同。

代码示例：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;#define Max_point 100   //点#define Max_edge 10000+5    //边typedef struct Edges{  //定义结构体，存储边    int s,e,v;}Edges;Edges Edge[Max_edge+5];int s[Max_point];int a,b,v,num,sum;void init() //初始化数据{    a=b=v=-1;    sum=0;    return;}void input() //输入数据{    num=0;    while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&v))    {        if(a == 0&& b == 0&& v == 0)            break;        Edge[num].s = a;        Edge[num].e = b;        Edge[num].v = v;        s[a] = a;        s[b] = b;        num++;    }    return;}bool cmp(Edges t1,Edges t2){    if(t1.v<=t2.v)        return true;    else return false;}int find(int x) //并查集{    int r=x;    while(r!=s[r])  //返回根节点        r=s[r];    while(s[x]!=r)    {        s[x]=r; //修改该节点对应的上节点        x=s[x]; //返回上级节点    }    return r;}int main(){    init();    input();    sort(Edge,Edge+num,cmp);    for(int i=0; i<num; i++)    {        int t1=find(Edge[i].s);        int t2=find(Edge[i].e);        if(t1 == t2)            continue;        if(t1>t2)            s[t1]=t2;        else s[t2]=t1;        sum += Edge[i].v;        //printf("%d----%d----%d----%d------%d\n",Edge[i].s,Edge[i].e,t1,t2,Edge[i].v);    }    printf("%d\n",sum);}

测试数据：

1 2 3
2 3 3
1 0 4
1 4 2
2 0 2
3 0 4
0 5 3
3 5 2
4 0 3
4 6 2
0 6 4
0 7 2
0 8 4
6 7 3
7 8 3
5 8 2
0 0 0
输出结果为18。