从零开始构建计算机系统——二维图形库（圆边）

三、绘制圆

圆的方程可以描述为( x - x₀ )² + ( y - y₀ )²= r² ，其中 ( x₀, y₀) 为圆心，r为圆的半径。为了简化问题，我们假设圆心就在坐标中心（0, 0），那么

( x₀, y₀ )= ( 0, 0 )，那么圆的方程为：x² + y²= r² 。

圆心不在坐标原点时，只需要做简单的平移即可。

如上图所示，圆心处于坐标原点处，此时圆具有四条对称轴：

①x = 0、②y = 0、③x = y、④x = -y

这四条对称轴将整个圆分成了八段圆弧，设圆上一点( x, y )，其对称点分别为：

( x, -y )、( -x, y )、( -x, -y ) 、( y, x )、( y, -x )、( -y, x )、( -y, -x )

这叫做圆的八分对称性。只要我们画出八段圆弧中的一段，其余七段可利用八分对称性进行变化得到。

（一）中点画圆法

我们首先画第一段圆弧，草图如下所示，从点( 0, 0 )到( r_i, r_i )圆弧与线段P1P2相交于一点，M点为线段P1P2中点，假设当前点为Pi( x_i, y_i)，由于每次步进一个像素，因此，

M点坐标为( x_i + 1, y_i– 0.5 )，P1点坐标为( x_i + 1, y_i)，P2点坐标为( x_i+ 1, y_i+ 1 )。

从图上我们可以知道，下一个坐标点要么是P1，要么是P2，到底哪个点离圆弧最近，线段中点M点在圆弧与线段交点的Y坐标情况。

设圆的判别函数为：

    F( x, y ) = x² + y² -r

我们知道，对于圆上任何一点F( x, y ) = 0，圆外的一点F( x, y ) > 0，圆内的一点F( x, y ) < 0。

我们将M点的坐标代入，如果F( x_i + 1, y_i –0.5 ) < 0，说明M点在圆内，下一个点为P2，因为它离圆弧最近。如果F(x_i + 1, y_i –0.5 ) > 0，说明M点在圆外，下一个点为P1，因为它离圆弧最近。设

    d_i= F（x_i +1, y_i – 0.5）= (x_i +1)² + (y_i – 0.5)² – r²

①若d_i < 0，则取P₁为下一个点，即

    x_i+1 = x_i + 1

    y_i+1 = y_i

此时P₁的下一个点的判别式为： 

    d_i+1= F（x_i + 2, y_i – 0.5）= (x_i + 2)² + (y_i –0.5)² – r²

 展开后将d_i带入可得到判别式的递推关系： 

    d_i+1 = d_i + 2x_i + 3

②若d_i > 0，则取P₂为下一个点，即

    x_i+1 = x_i + 1

    y_i+1 = y_i – 1

此时P₂的下一个点的判别式为：

    d_i+1 = F（x_i + 2, y_i – 1.5）= (x_i + 2)² + (y_i –1.5)² – r²

 展开后将d_i带入可得到判别式的递推关系：

    d_i+1 = d_i + 2(x_i - y_i) + 5

③在第一个象限的第一个点（0, R）时，即当i=0，x₀=0，y₀=r，判别式d的初始值d₀：

    d₀ = F(1, r – 0.5) = 1 – (r– 0.5)² – r² = 1.25 - r

我们对上面的推导加以整理，可以得出：对于（0, R）至( r_i, r_i)的圆弧，

x₀ = 0，y₀=r，d₀ = 1.25 - r

当d_i < 0，

    x_i+1= x_i + 1

    y_i+1= y_i

    d_i+1 = d_i + 2x_i + 3

否则，d_i > 0

    x_i+1= x_i + 1

    y_i+1= y_i – 1

    d_i+1 = d_i + 2(x_i - y_i)+ 5

设圆心坐标为( ∆x, ∆y )，那么相当于对圆心在坐标原点的圆进行平移( ∆x, ∆y )，设原坐标为( x, y )，与偏移后的坐标( X, Y )满足如下关系：

X = x +∆x，Y = y + ∆y

同时，其它七段圆弧满足对称关系，也可以很容易得出：

( X, -Y )、( -X, Y)、( -X, -Y ) 、( Y, X )、( Y, -X )、( -Y, X )、( -Y, -X )

上面计算判别时使用了浮点数，即d₀ = 1.25 – r，因此我们需要做进一步优化。

（二）Bresenham画圆法

Bresenham画圆法主要针对中点画圆法进行了改进，将d的计算放大两倍，同时将初始值改成3–2r，这样避免了浮点运算，乘二运算也可以用移位快速代替，采用3–2r为初始值的改进算法。还有一种方法是将d的初始值由1.25–r改成1–r，考虑到圆的半径r总是大于2（像素的最小单位是1），因此这个修改不会影响d的初始值的符号，同时可以避免浮点运算。

根据Bresenham算法，将d放大两倍，可得到：

x₀ = 0，y₀=r，d₀ = 3 - 2r

当d_i < 0，

    x_i+1= x_i + 1

    y_i+1= y_i

    d_i+1 = d_i + 4x_i + 6

否则，d_i > 0

    x_i+1= x_i + 1

    y_i+1= y_i – 1

    d_i+1 = d_i + 4(x_i - y_i)+ 10

（三）正负判定画圆法

在上述画法中，主要的判断依据是哪个点距离圆弧近。在像素的世界里，一个一个点将整个平面切分成了离散的网格，这些像素点要么在圆弧内，要么在圆弧外，要么在圆弧上。无论在哪，始终都是聚集在圆弧的附近，而且尽可能的近。之前的分析中我们知道，已知当前一点Pi( x_i, y_i)，那么下一个点可选位置有两个：P1 ( x_i+1, y_i)或者P2 (x_i+1, y_i+1)。为了确保每个点“始终都是聚集在圆弧的附近”，我们采用一种修正的方式，即：如果当前点P_i在圆内，说明当前向着圆心的方向远离了圆弧，为了修正，那么下一个点就应该选取背离圆心方向的点；如果当前点P_i在圆外，说明当前背离圆心的方向远离了圆弧，为了修正，那么下一个点就应该选取向着圆心方向的点。因此，我们可以看出，每次在选取点的时候，都是对当前点的一种修正，修正量为1个单位，要么在Y方向，要么在X方向。如下图所示：

具体的实现方式，将当前点Pi( x_i, y_i)代入判别式，

①当F(x_i, y_i）≤ 0，

取x_i+1 = x_i+1，y_i+1 = y_i。即向右走一步，从圆内走向圆外。对应图（a）中的从P_i到P_i+1。

F(x_i+1, y_i+1）= F(x_i+1，y_i) = (x_i+1)²+y_i²-R² = (x_i²+y_i²-R²)+2x_i+1 = F(x_i，y_i)+2x_i+1

②当F(x_i, y_i）> 0，

取x_i+1 = x_i，y_i+1 = y_i - 1。即向下走一步，从圆外走向圆内。对应图（b）中的从P_i到P_i+1。

F(x_i+1, y_i+1）= F(x_i，y_i-1) = x_i²+(y_i-1)² - R² = (x_i²+y_i²-R²) - 2y_i + 1 = F(x_i，y_i) - 2y_i+1

对上面分析进行整理，得到

x₀ = 0，y₀=r，d₀ = 0

当d_i ≤ 0，

    x_i+1= x_i + 1

    y_i+1= y_i

    d_i+1 = d_i + 2x_i + 1

否则，d_i > 0

    x_i+1= x_i

    y_i+1= y_i – 1

    d_i+1 = d_i - 2y_i + 1

需要注意的是：改进的中点划线算法和正负法虽然都避免了浮点运算，并且计算判别式时用到的乘法都是乘2运算，可以用移位代替，但是实际效率缺有很大差别。因为正负法并不是严格按照x方向步进的，因此就会出现在某个点的下一个点在两个位置上重复画点的问题，增加了不必要的计算，可见下图。此外，从生成圆的质量看，中点画圆法和改进的中点画圆法都比正负法效果好。

防止格式错误，下面是排好版的图片：