堆排序

堆

堆排序是简单选择排序的一种改进。下面先说一下什么是堆，再来说堆排序。
1.堆：具有n个数据元素的序列｛k(1),k(2),k(3),…,k(n)｝（括号内为下标）,当且仅当满足
a. k(i)>=k(2i)且k(i)>=k(2i+1) 或
b. k(i)<=k(2i)且k(i)<=k(2i+1)
c. i=1,2,3,…,n/2
满足条件a的堆称为大顶堆，满足b的堆称为小顶堆。
2.如果将堆序列中的元素存放在一棵完全二叉树中，数据从上到下，从左到右地按层存放，那么对可以与一棵二叉树相对应。进而将数组向后错开一位则与树中标号相同。
3.完全二叉树：叶子结点只能出现在最下层和次最下层，且最下层的叶子结点集中在树的左部。不要因为完全二字就和满二叉树弄混。
（下面是基于大顶堆的算法）

堆排序

核心思想：

1.将原始序列构建成一个堆，即建立初始堆。
2.交换堆的第一个元素和堆的最后一个位置。
3.将移走最大值元素后的剩余元素所构成的序列再转换成一个堆
4.重复2，3步n-1次
经过上述操作，就可将一个无序序列从小到大进行排序，该方法称为堆排序方法。

核心问题：

1.将移走最大值元素之后剩余元素构成的序列转换为一个堆：（移走最大值是在堆的基础上）
（1）交换堆的第一个元素和堆的最后一个位置。
（2）采用自上而下的调整，所谓调整，就是将序号为i的结点与其左右孩子（2i和2i+1）这三个中的最大值替换到序号为i的结点位置上。
（3）彻底完成一次从上到下的调整，会得到一个堆。

算法描述如下：

//函数作用：将以第i个元素作为根结点的子树调整为一个新的堆序列void adjust(keytype k[],int i,int n)  //参数i为序列k(即在树中的序号)中的一个元素下标{   int j;   keytype tmp;   tmp=k[i];   j=2*i;                    //j为i的左孩子结点序号   while(j<=n)   {       if(j<n&&k[j]<k[j+1])       {          j++；               //j为i的左右孩子中较大孩子的序号       }       if(tmp>=k[j])       {           break；           //无需再调整       }       k[j/2]=k[j];          //子结点与父结点交换位置       j=j*2;                //继续向下调整   }   k[j/2]=tmp;}

2.将原始序列构成一个堆:
（1）设原序列对应的完全二叉树有n个结点，初始时，令序列号i=[n/2]，对应二叉树中第[n/2]个结点（二叉树中结点按层次编号）
（2）调用函数adjust（）进行调整。
（3）每执行完一次调整都执行一次i=i-1的操作。
（4）重复（2）（3），直到i=1。即在自下到上中包含着自上到下。
（5）最后再调用adjust（）函数调整。

堆排序算法如下:

void heapsort(keytype k[],int n){   int i;   keytype tmp;   for(i=n/2;i>=1;i--)   {     adjust(k,i,n);              //将原始序列初始化为一个堆   }   for(i=n-1;i>=1;i--)   {                        //交换第一个和第n个元素，再将跟结点向下调整      tmp=k[i+1];      k[i+1]=k[1];           //交换第一个和第n个元素      k[1]=tmp;      adjust(k,1,i);          //将跟结点向下调整   }}

上述代码描述了堆排序的过程，注意的是，待排序序列存放在数组k中，数组k的下标从1有效也就是k[0]的内容不参与排序。

理解堆排序应把握以下几点：

（1）堆排序是针对线性序列的排序，之所以要采用完全二叉树的形式解释堆排序的过程，是出于方便解释的需求。
（2）如果基于大顶堆进行堆排序，排序后序列从小到大排列；如果基于小顶堆，则为从大到小排序。

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例：编写一段C语言程序，实现将数据序列{5，2，12，6，9，0，3，6，15，20}从大到小排序，要求用堆排序实现。

typedef int keytype;void adjust(keytype k[],int i,int n){     int j;     keytype tmp;     tmp=k[i];     j=i*2;     while(j<=n)     {        if(j<n&&k[j]>k[j+1])        {            j++;        }        if(tmp<k[j])        {          break;        }        k[j/2]=k[j];        j=j*2;     }     k[j/2]=tmp;}void heapsort(keytype k[],int n){    int i;   keytype tmp;   for(i=n/2;i>=1;i--)   {      adjust(k,i,n);        //将原始序列初始化成一个小顶堆   }   for(i=n-1;i>=1;i--)   {       tmp=k[i+1];       k[i+1]=k[1];       k[1]=tmp;       adjust(k,1,i);   }   main()   {      int i, k[11]={-111,5,2,12,6,9,0,3,6,15,20};      printf("The orginal data array is:\n");      for(i=1;i<11;i++)      printf("%d",k[i]);      heapsort(k,10)     //10表示的是最后一个元素下标，即个数      printf("\nThe result of heap sorting for the array is:\n");      for(i=1;i<11;i++)      printf("%d",k[i]);      getche();   }     //初始化序列时，数组的第一个元素可放任意数据，它不参与排序。