洛谷-2522 [HAOI2011]Problem b

洛谷 2522 [HAOI2011]Problem b

推导一下
设

f(n,m,k)=∑i=1n∑j=1m[Gcd(i,j)=k]

F(n,m,k)=∑i=1n∑j=1m[k|Gcd(i,j)]

先不管f(n,m,k)
我们先化简F(n,m,k)

F(n,m,k)=∑i=1nk∑j=1mk1=⌊nk⌋∗⌊mk⌋

轻松愉快

然后有

X=min(n,m)

F(n,m,k)=∑nk|xXf(n,m,nk)∗I

f(n,m,k)=∑i=1⌊Xk⌋F(n,m,ik)∗μ(ik)

f(n,m,k)=∑i=1⌊Xk⌋⌊nik⌋∗⌊mik⌋∗μ(ik)

于是 我们成功将O(n2∗T)变成了O(n∗T)
但是 还不够

观察下图

能够看到 许多的⌊nik⌋⌊mik⌋都是相同的
于是 我们就想办法把相同的合并到一起

对于每一个i我们可以通过 ⌊m⌊mik⌋⌋求出 最后一个满足⌊mik⌋相同的位置

同时 ⌊m(i−1)k⌋的位置我们记下了

那么当前的⌊mik⌋的第一个位置即是 上一个位置+1

另外 凑巧的是 因为⌊nik⌋⌊mik⌋的值一直相同

所以对于这一连串的⌊nik⌋⌊mik⌋∗μ(ik)

我们只需要求出μ(ik)的前缀和 就可以快速求出这一段的和了

(恐怕看完这一段你都不知道你一开始在求什么了)

附上理解代码

#include <iostream>#include <cstdio>#define LL long longusing namespace std;inline int input(){    char c=getchar();int o;bool f=0;    while(c>57||c<48)f|=(c=='-'),c=getchar();    for(o=0;c>47&&c<58;c=getchar())o=(o<<1)+(o<<3)+c-48;    return f?-o:o;}const int N=50123;int mu[N],sum[N],prime[N],cnt=0;bool mark[N];void GetMu(){    int num;    sum[1]=mu[1]=1;    for(int i=2;i<=50000;i++)    {        if(!mark[i]){mu[i]=-1,prime[++cnt]=i;}        for(int k=1;k<=cnt;k++)        {            num=i*prime[k];            if(num>N)break;            mark[num]=1;            if(i%prime[k]==0){mu[num]=0;break;}            else mu[num]=-mu[i];        }        sum[i]=sum[i-1]+mu[i];    }}int Cal(int a,int b){    if(a>b)swap(a,b);    int ans=0,pos;    for(int i=1;i<=a;i=pos+1)\\pos为上一个的末尾位置 当前+1    {        pos=min(a/(a/i),b/(b/i));\\要保证一连串都相同 所以取两者之中的更小值        ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(a/i)*(b/i);    }    return ans;}int main(){    //freopen("In.txt","r",stdin);    GetMu();    int T=input(),a,b,c,d,k,res;    while(T--)    {        a=input();b=input();c=input();d=input();k=input();        a--;c--;        a/=k;b/=k;c/=k;d/=k;        res=Cal(a,c)+Cal(b,d)-Cal(a,d)-Cal(b,c);        printf("%d\n",res);    }    return 0;}