[HNOI2008]越狱

1008: [HNOI2008]越狱

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Description

　　监狱有连续编号为1…N的N个房间，每个房间关押一个犯人，有M种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果
相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱

Input

　　输入两个整数M，N.1<=M<=10^8,1<=N<=10^12

Output

　　可能越狱的状态数，模100003取余

Sample Input

2 3

Sample Output

6

HINT

　　6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

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读完题目，马上有两种思路，第一种是直接求出个数，第二种是求出总个数再减去不可行的个数。

对于第一种思路，我们会发现，想要表示出来会比较复杂（我自己是整了半天都没整明白）。

相比之下第二种就简单多了。

总组合数为 M^N，其中有 M*(M-1)^(N-1) 个是不满足的个数。

如图，第一个人可以有 M 种可能，第二个人为了和第一个人不一样，那么就只有 M-1 种选择了，第三个人又要和第二个人不一样，所以也只有 M-1 种可能，后面以此类推。

最后还是特殊情况，由于我们在求解过程中会对100003取模，所以，作差可能会是负数，需要+100003补回来。

(a - b) % t = ((a % t)-(b % t) + t) % t

a = k1 * t + r1 ; b = k2 * t + r2

(a - b) % t = (k1*t + r1 - k2*t - r2) % t

(a - b) % t = ((k1-k2)*t + r1-r2) % t

设 x*t ≥ |r1 - r2|

(a - b) % t = ((k1-k2-x)*t + (r1-r2 + x*t)) % t

(a - b) % t = (k1-k2-x)*t%t + (r1-r2 + x*t)%t

∵ -t＜r1-r2＜t

∴ (a - b) % t = ((a % t)-(b % t) + t) % t

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这次自己码了一段。

#include<cstdio>#include<algorithm>#define tt 100003#define LL long longusing namespace std;LL read(){    LL ret=0;    char ch=getchar();    while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();    while (ch>='-'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();    return ret;}int main(){    LL n,m,x,y,s1,s2;    m=read(),n=read()-1;    if (n==1) {printf("0");return 0;}    if (m==1) {printf("1");return 0;}    s1=s2=x=m%tt;    y=(m-1)%tt;    while (n)//快速幂，s1是M^N，s2是M*(M-1)^(N-1)    {        if (n&1) s1=s1*x%tt,s2=s2*y%tt;        x=x*x%tt;y=y*y%tt;n>>=1;    }    m=s1-s2;    if (m<0) m+=tt;    printf("%lld",m);    return 0;}