张正友标定算法原理详解

来源：互联网发布：sd卡损坏怎么恢复数据编辑：程序博客网时间：2024/05/18 01:04

http://blog.csdn.net/u010128736/article/details/52860364

一、背景

”张正友标定”是指张正友教授1998年提出的单平面棋盘格的摄像机标定方法[1]。文中提出的方法介于传统标定法和自标定法之间，但克服了传统标定法需要的高精度标定物的缺点，而仅需使用一个打印出来的棋盘格就可以。同时也相对于自标定而言，提高了精度，便于操作。因此张氏标定法被广泛应用于计算机视觉方面。

二、计算内参和外参的初值

1、计算单应性矩阵H

根据之前博客介绍的摄像机模型，设三维世界坐标的点为X=[X,Y,Z,1]T，二维相机平面像素坐标为m=[u,v,1]T，所以标定用的棋盘格平面到图像平面的单应性关系为：

s 0 m = K [R, T] X

其中s为尺度因子，K为摄像机内参数，R为旋转矩阵，T为平移向量。令

K = ⎡ ⎣ ⎢ α 00 γ β 0 u 0 v 0 1 ⎤ ⎦ ⎥

注意，s对于齐次坐标来说，不会改变齐次坐标值。张氏标定法中，将世界坐标系狗仔在棋盘格平面上，令棋盘格平面为Z=0的平面。则可得

s ⎡ ⎣ ⎢ u v 1 ⎤ ⎦ ⎥ = K [r 1 r 2 r 3 t] ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ X Y 01 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = K [r 1 r 2 t] ⎡ ⎣ ⎢ X Y 1 ⎤ ⎦ ⎥

我们把K[r1, r2, t]叫做单应性矩阵H，即

s ⎡ ⎣ ⎢ u v 1 ⎤ ⎦ ⎥ = H ⎡ ⎣ ⎢ X Y 1 ⎤ ⎦ ⎥ H = [h 1 h 2 h 3] = λ K [r 1 r 2 t]

H是一个齐次矩阵，所以有8个未知数，至少需要8个方程，每对对应点能提供两个方程，所以至少需要四个对应点，就可以算出世界平面到图像平面的单应性矩阵H。

2、计算内参数矩阵

由上式可得

λ = 1 s r 1 = 1 λ K - 1 h 1 r 2 = 1 λ K - 1 h 2

由于旋转矩阵是个酉矩阵，r1和r2正交，可得

r T 1 r 2 = 0 | | r 1 | | = | | r 2 | | = 1

代入可得：

h T 1 K - T K - 1 h 2 = 0 h T 1 K - T K - 1 h 1 = h T 2 K - T K - 1 h 2

即每个单应性矩阵能提供两个方程，而内参数矩阵包含5个参数，要求解，至少需要3个单应性矩阵。为了得到三个不同的单应性矩阵，我们使用至少三幅棋盘格平面的图片进行标定。通过改变相机与标定板之间的相对位置来得到三个不同的图片。为了方便计算，定义如下：

B = K - T K - 1 = ⎡ ⎣ ⎢ B 11 B 21 B 31 B 12 B 22 B 32 B 13 B 23 B 33 ⎤ ⎦ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 1 α 2 - γ α 2 β v 0 γ - u 0 β α 2 β - γ α 2 β γ 2 α 2 β 2 + 1 β 2 - γ ( v 0 γ - u 0 β ) α 2 β 2 - v 0 β 2 v 0 γ - u 0 β α 2 β - γ ( v 0 γ - u 0 β ) α 2 β 2 - v 0 β 2 ( v 0 γ - u 0 β ) 2 α 2 β 2 + v 0 β 2 + 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

可以看到，B是一个对称阵，所以B的有效元素为六个，让这六个元素写成向量b，即

b = [B 11 B 12 B 22 B 13 B 23 B 33] T

可以推导得到

h T i B h j = v T i j b v i j = [h i 1 h j 1 h i 1 h j 2 + h i 2 h j 1 h i 2 h j 2 h i 3 h j 1 + h i 1 h j 3 h i 3 h j 2 + h i 2 h j 3 h i 3 h j 3] T

利用约束条件可以得到：

[v T 12 (v 11 - v 22) T] b = 0

通过上式，我们至少需要三幅包含棋盘格的图像，可以计算得到B，然后通过cholesky分解，得到相机的内参数矩阵K。

3、计算外参数矩阵

由之前的推导，可得

λ = 1 s = 1 ∥ A - 1 h 1 ∥ = 1 ∥ A - 1 h 2 ∥ r 1 = 1 λ K - 1 h 1 r 2 = 1 λ K - 1 h 2 r 3 = r 1 \times r 2 t = λ K - 1 h 3

三、最大似然估计

上述的推导结果是基于理想情况下的解，但由于可能存在高斯噪声，所以使用最大似然估计进行优化。设我们采集了n副包含棋盘格的图像进行定标，每个图像里有棋盘格角点m个。令第i副图像上的角点Mj在上述计算得到的摄像机矩阵下图像上的投影点为：

m^(K, R i, t i, M i j) = K [R | t] M i j

其中Ri和ti是第i副图对应的旋转矩阵和平移向量，K是内参数矩阵。则角点mij的概率密度函数为：

f (m i j) = 1 2 π - - \sqrt e - ( m ^ ( K , R i , t i , M i j ) - m i j ) 2 σ 2

构造似然函数：

L (A, R i, t i, M i j) = \prod i = 1, j = 1 n, m f (m i j) = 1 2 π - - \sqrt e - \sum n i = 1 \sum m j = 1 ( m ^ ( K , R i , t i , M i j ) - m i j ) 2 σ 2

让L取得最大值，即让下面式子最小。这里使用的是多参数非线性系统优化问题的Levenberg-Marquardt算法[2]进行迭代求最优解。

\sum i = 1 n \sum j = 1 m ∥ m^(K, R i, t i, M i j) - m i j ∥ 2

四、径向畸变估计

张氏标定法只关注了影响最大的径向畸变。则数学表达式为：

u^= u + (u - u 0) [k 1 (x 2 + y 2) + k 2 (x 2 + y 2) 2] v^= v + (v - v 0) [k 1 (x 2 + y 2) + k 2 (x 2 + y 2) 2]

其中，(u,v)是理想无畸变的像素坐标，

(u^,v^)是实际畸变后的像素坐标。(u0,v0)代表主点，(x,y)是理想无畸变的连续图像坐标，

(x^,y^)是实际畸变后的连续图像坐标。k1和k2为前两阶的畸变参数。

u^= u 0 + α x^+ γ y^v^= v 0 + β y^

化作矩阵形式：

[(u - u 0) (x 2 + y 2) (v - v 0) (x 2 + y 2) (u - u 0) (x 2 + y 2) 2 (v - v 0) (x 2 + y 2) 2] [k 1 k 2] = [u^- u v^- v]

记做：

D k = d

则可得：

k = [k 1 k 2] T = (D T D) - 1 D T d

计算得到畸变系数k。

使用最大似然的思想优化得到的结果，即像上一步一样，LM法计算下列函数值最小的参数值：

\sum i = 1 n \sum j = 1 m ∥ m^(K, k 1, k 2, R i, t i, M i j) - m i j ∥ 2

到此，张氏标定法介绍完毕。我们也得到了相机内参、外参和畸变系数。

参考

1、Zhang, Zhengyou - 《IEEE Transactions on Pattern Analysis & Machine Intelligence》 - 2000
2、J.More.Thelevenberg-marquardtalgorithm,implementationandtheory.InG.A.Watson,
editor,NumericalAnalysis,LectureNotesinMathematics630.Springer-Verlag,1977.

阅读全文

'); })();