芝诺悖论：一个跑得最快的人永远追不上跑得最慢的人

  这是一个非常著名的悖论，而且我相信很多人都听过。用现代的说法就是：“龟兔赛跑”。这个悖论是意大利哲学家芝诺（Zenon Eleates,约公元前490年-公元前436年）提出的4个关于运动的悖论之一，嘿嘿，一算离现在已经将近2500年了呢！这个悖论当时在学术圈引起了极大的关注，按照一般的思维我们还真难找出其中的漏洞呢！不知道极限概念的出现在这个悖论之前还是之后，要不人真难解释。也许科学就是这个样子，由一个悖论才引起很多科学的概念并且不断地完善。

 

  下面用现代版的芝诺悖论“龟兔赛跑”来说一下其中的奥妙之处！

 

【问题】开始时乌龟在兔子前100m处，若兔子以10m/s的速度匀速向前，乌龟以1m/s的速度匀速向前（即兔子的速度是乌龟的10倍）。

 

兔子第1次追赶：当兔子跑完这100m时，它花的时间是10s，在这10s里乌龟已经向前走了10m了；

兔子第2次追赶：当兔子跑完这10m时，它花的时间是1s，在这1s里乌龟已经向前走了1m了；

兔子第3次追赶：当兔子跑完这1m时，它花的时间是1/10s，在这1/10s里乌龟已经向前走了1/10m了；

...

兔子第n次追赶：当兔子跑完乌龟走的(1/10)^(n-3)m时，它花的时间是(1/10)^(n-2)s，在这段时间里乌龟已经向前走了(1/10)^(n-2)m了；

...

 

这么一直下去，兔子貌似永远也追不到乌龟了。中国古代语：一尺之椎，日取其半，万世不竭！按照这个意思，兔子跟乌龟这么下去总是相差那么丁点的距离。可怜的兔子啊~

 

可是我们常识知道，这个兔子肯定是能追上这个乌龟的。这其中的问题到底出现在哪儿呢？

 

【解释】我们知道，这个兔子肯定能够在有限的时间追上这个兔子，而且我们也能够具体计算出来兔子与乌龟相遇的时间和位置。那芝诺的这个解释问题出在哪儿呢？ 

兔子追上乌龟所走的路程s = 100 + 10 + + …++…

记：

         =100 + 10 + + …+；

则可计算得= [1-],故() =.

我们知道，兔子肯定能走完m。这是一个有限的距离，芝诺想在这段有限的距

 

离之内标出无限个位置，说兔子经过这无数个位置就达不到这有限的距离，这不是

 

一件很荒唐的事情吗？

 

哈哈，至此，这个悖论到这儿已经水落石出了。我们说兔子追不上这个乌龟，是说

 

兔子在追赶乌龟的过程中走了m远。而事实上，他只用了有限的距离。