初中数学定理公式汇编

例谈函数与方程的思想在解高考题中的应用

 

    所谓函数与方程的思想是指把数学问题特别是非函数、非方程的问题用函数、方程的观点（知识）去解决。这种思想方法是解决数学问题的重要思想方法之一，也是高考中主要考查的四种数学思想之一。本文通过以下例题说明这种思想方法在解高考题中的应用，供同学们参考。

一、函数的思想

    例1 [1993年全国高考理(29)①] 已知关于的实系数二次方程有两个实数根.证明:如果,那么.

    分析：作一次函数，∵

∴，取，，则有.由的单调性知，即，又，∴，∴ .

    注：本题通过构造一次函数，将不等式问题化为函数问题来解决.

    例2 [1994年全国高考理⒇] 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得次测量分别得到，共个数据.我们规定所测量物理量的“最佳近似值”是这样一个量：与其他近似值比较，与各数据的差的平方和最小.依此规定，从推出的.

    分析：此题即求关于的二次函数取最小值时的，将其右边展开，得，由此易知当时最小.

    注：本题先将题目要求转化为函数表达式，再将其化为以为主元的二次函数形式，从而顺利解决此实际问题.

    例3 [1996年全国高考理⑿] 等差数列的前项和为，前项和为，则它的前项和为（  ）.

.  .  .  .

    分析：由等差数列前项和公式是关于的二次函数，即=(是常数)，将代入，可解得，从而求得，故选.

    注：本题根据等差数列的性质，用函数的观点来简捷解决问题.

    例4 [1999年全国高考理⒆] 解不等式 .

分析：令，则原不等式化为.设函数和，其交点为.由图象可知或，即或.当时，得所求的解集是；当时，得所求的解集是

注：本题通过换元将问题化为函数问题来解决.

二、方程的思想

    例5 [1979年全国高考理一] 若，求证：成等差数列.

   分析：按等差数列的定义，即证.因此只需证明以为根的二次方程，即的判别式 ,而这正是题设条件，∴.根据定义，成等差数列.

    注：本题将所证结论转化为证明二次方程的判别式为零，从而使问题得到简捷解决。

    例6 [1998年全国高考理⒇] 在中，分别是角的对边，设，求的值.

    分析：由正、余弦定理得

.化简得方程 ，解得或（舍去），∴.

    注：本题根据正、余弦定理将问题转化为方程问题而得到顺利解决.

    例7 [1992年“三南”高考题] 求同时满足下列两个条件的所有复数：（Ⅰ）是实数，且；（Ⅱ）的实部和虚部都是整数.

    分析：设，则 ┄① 由条件（Ⅰ）得，由此知①的判别式，∴ ┄②

    由（Ⅱ）知，的实部是整数，只能在2、4、6中取值；的虚部同时也要为整数，故只能取2、6.将值分别代入②，即得满足条件（Ⅰ）（Ⅱ）的复数是，.

    注：本题通过换元转换为方程问题来解显得比较简捷.

    例8 [1998年全国高考理（24）（Ⅲ）] 设曲线的方程是，将沿轴、轴正向分别平行移动单位长度后得曲线.（Ⅲ）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明且.

    分析：易求得曲线的方程为，由题设知，方程组 有且仅有一组解，消去整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根.∴且，即且.∴且.

    注：本题利用两曲线有唯一公共点的充要条件，将问题最终转化为讨论一元二次方程的有关系数和判别式须满足的条件，从而较简捷、明了地完成了证明.

总之，函数与方程的思想是数学思想中两个最重要的体系，一旦数学问题被纳入到这两个知识体系中，我们立即就会产生如鱼得水的感觉.因此，同学们要重视这种思想的学习与实践，这样就能不断提高解题能力.