PKU1737 解题报告 Connected Graph __高精度加法，乘法，减法，组合数

来源：互联网发布：知乎一小时编辑：程序博客网时间：2024/06/05 10:45

Connected Graph

链接地址

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1737

时空限制

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题目内容

Description

An undirected graph is a set V of vertices and a set of E∈{V*V} edges.An undirected graph is connected if and only if for every pair (u,v) of vertices,u is reachable from v.
You are to write a program that tries to calculate the number of different connected undirected graph with n vertices.
For example,there are 4 different connected undirected graphs with 3 vertices.

Input

The input contains several test cases. Each test case contains an integer n, denoting the number of vertices. You may assume that 1<=n<=50. The last test case is followed by one zero.

Output

For each test case output the answer on a single line.

Sample Input

Sample Output

Source

LouTiancheng@POJ

解题思路（算法）

题目大致意思是给定n个点，求这n个点的连通图的个数。

用g(n)表示n个点总共可以表示成几个图，因为总共有n*（n-1）/2条边，而这n*(n-1)/2中每条边连或不连有两种可能，所以g(n)=2^(n*(n-1)/2)

所以连通图的个数=总的图的个数-不是连通图的个数;

那令f(n)表示n个点的连通图的个数；

而不连通的图的个数是顶点数小于n的连通图的个数乘以剩下的顶点总共的图的个数，即

；如图：

所以

但是…

真的是Cⁱ_n吗，看一个例子

1）

2）

1）和2）其实是同一种状态，但是按算选出（1，2）是一种，选出（3，4）是一种，所以产生了重复。

那么该怎么修改呢，其实只要固定一个点，假设是1，再从n-1个点中选出i-1个点去跟1构成连通图即C^i-1_n-1，那样就可以避免重复了；

综上：

因为n=11时数据就已经达到

35677592006776576了；

N=12的话就超过__int64的范围了。

所以此题必然要用到高精度了。

在计算f,Cⁱ_n的时候把f,Cⁱ_n算出来后保存下来，避免重复计算，否则有可能超时。

还有个要注意的就是：计算Cⁱ_n时可以用公式Cⁱ_n= C^i-1_n+C^i-1_n-1，这样就可以用高精度加法递推出来了。

程序代码

#include<stdio.h>

#include<memory.h>

int CC[60][60][400];

int FF[60][1000];

int GG[60][1000];

int gjd_add(int *a,int *b,int *c)

{

int i;

for(i=*a+1;i<=*a+*b+5;i++) a[i]=0;

for(i=*b+1;i<=*a+*b+5;i++) b[i]=0;

for(i=1;i<=(*a+*b+5);i++) c[i]=a[i]+b[i];

for(i=1;i<=*a+*b+3;i++)

{

c[i+1]=c[i+1]+c[i]/10;

c[i]=c[i]%10;

}

for(i=*a+*b+4;i>=1;i--)

if (c[i]) break;

c[0]=i;

return i;

}

int gjd_min(int *a,int *b)

{

int i;

for(i=1;i<=*b;i++)

a[i]=a[i]-b[i];

for(i=1;i<=*a;i++)

if (a[i]<0)

{

a[i+1]--;

a[i]+=10;

}

for(i=*a;i>=1;i--)

if (a[i]) break;

a[0]=i;

return i;

}

int gjd_mul(int *a,int *b,int *c)

{

int i,j;

for(i=*a+1;i<=*a+*b+5;i++) a[i]=0;

for(i=*b+1;i<=*a+*b+5;i++) b[i]=0;

for(i=0;i<=*a+*b+5;i++) c[i]=0;

for(i=1;i<=*a;i++)

for(j=1;j<=*b;j++)

c[i+j-1]+=a[i]*b[j];

for(i=1;i<=*a+*b+5;i++)

{

c[i+1]=c[i+1]+c[i]/10;

c[i]=c[i]%10;

}

for(i=*a+*b+5;i>=1;i--)

if (c[i]) break;

c[0]=i;

return i;

}

int g(int n)

{

int i,j;

int temp1[1000],temp2[1000];

if (GG[n][0]) return GG[n][0];

if (n==1) {

GG[1][0]=1;

GG[1][1]=1;

return 1;

}

memset(temp1,0,sizeof(temp1));

memset(temp2,0,sizeof(temp2));

temp2[0]=1;temp2[1]=2;

temp1[0]=1;temp1[1]=1;

for(i=1;i<=(n-1)*n/2;i++)

{

gjd_mul(temp1,temp2,GG[n]);

for(j=0;j<=GG[n][0];j++) temp1[j]=GG[n][j];

}

return j;

}

int C(int x,int y)

{

int i,j;

if (CC[x][y][0]) return CC[x][y][0];

if ((x==y)||(x==0))

{

CC[x][y][0]=1;

CC[x][y][1]=1;

return CC[x][y][0];

}

C(x,y-1);C(x-1,y-1);

gjd_add(CC[x][y-1],CC[x-1][y-1],CC[x][y]);

return CC[x][y][0];

}

int f(int n)

{

int i,j,k,t,ans,temp[1000],temp1[1000];

if (FF[n][0]) return FF[n][0];

memset(temp,0,sizeof(temp));

g(n);

gjd_add(temp,GG[n],FF[n]);

for(i=1;i<=n-1;i++)

{

C(i-1,n-1);f(i);gjd_mul(GG[n-i],FF[i],temp1);

gjd_mul(temp1,CC[i-1][n-1],temp);

gjd_min(FF[n],temp);

}

int main()

{

int n,i,j,k;

memset(FF,0,sizeof(FF));

memset(GG,0,sizeof(GG));

memset(CC,0,sizeof(CC));

while((scanf("%d",&n),n)!=0)

{

f(n);

for(i=FF[n][0];i>=1;i--)

printf("%d",FF[n][i]);

printf("/n");

}

return 0;

}

汉语翻译

1．题目

一个无向图就是有v个顶点和e条边（E∈{V*V}）构成的一个集合。如果一个无向图对于每个点对（u,v）都可以从u通过边到底v，那么这个图就是连通的，你的任务就是写一个程序来计算总共有多少个不同的包含n个顶点的连通的无向图；

像下面这个例子，总共有4个不同呢的包含3个顶点的连通的无向图：

2．输入描述

输入包括多组数据，每个数据包含一个整数n，表示顶点数（1=<n<=50）。

输入以0为结束标志。

3．输出描述

对于每个测试点用一行输出结果。