pku1737（求连通图个数，运用高精度加法，减法，乘法，组合数）

http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=1737

题意： 一个无向图就是有v个顶点和e条边（E∈{V*V}）构成的一个集合。如果一个无向图对于每个点对（u,v）都可以从u通过边到底v，那么这个图就是连通的，你的任务就是写一个程序来计算总共有多少个不同的包含n个顶点的连通的无向图；

分析：对于我老菜来说此题是很好很难的图论+数论。自己弄了很久，最后看了牛人的解题报告才弄明白，汗~废话少说贴下牛人的报告吧。

 

题目大致意思是给定n个点，求这n个点的连通图的个数。

用g(n)表示n个点总共可以表示成几个图，因为总共有n*（n-1）/2条边，而这n*(n-1)/2中每条边连或不连有两种可能，所以g(n)=2^(n*(n-1)/2)

所以连通图的个数=总的图的个数-不是连通图的个数;

那令f(n)表示n个点的连通图的个数；

而不连通的图的个数是顶点数小于n的连通图的个数乘以剩下的顶点总共的图的个数，即

；如图 ：

                  

所以

但是…

真的是Cⁱ_n吗，看一个例子

 

1）

    2）

 

 

 

1）和2）其实是同一种状态，但是按 算选出（1，2）是一种，选出（3，4）是一种，所以产生了重复。

那么该怎么修改呢，其实只要固定一个点，假设是1，再从n-1个点中选出i-1个点去跟1构成连通图即C^i-1_n-1，那样就可以避免重复了；

综上：

因为n=11时数据就已经达到

35641657548953344了；

N=12的话就超过__int64的范围了。

所以此题必然要用到高精度了。

在计算f,Cⁱ_n的时候把f,Cⁱ_n算出来后保存下来，避免重复计算，否则有可能超时。

还有个要注意的就是：计算Cⁱ_n时可以用公式Cⁱ_n= C^i-1_n+C^i-1_n-1，这样就可以用高精度加法递推出来了。

#include<iostream>#include<memory>using namespace std;int CC[60][60][400];int GG[60][1000];int FF[60][1000];int add(int *a, int *b, int *c)//高精度加法{int i;for(i=*a+1; i<=*a+*b+5; i++) a[i] = 0;for(i=*b+1; i<=*a+*b+5; i++) b[i] = 0;for(i=1; i<=*a+*b+5; i++) c[i] = a[i] + b[i];for(i=1; i<=*a+*b+3; i++){c[i+1] = c[i+1] + c[i] / 10;c[i] = c[i] % 10;}for(i=*a+*b+4; i>=1; i--)if(c[i]) break;c[0] = i;//位数return i;}int min(int *a, int *b)//高精度减法；{int i;for(i=1; i<=*b; i++)a[i] = a[i] - b[i];for(i=1; i<=*a; i++)if(a[i] < 0){a[i+1]--;a[i] += 10;}for(i=*a; i>=1; i--)if(a[i]) break;a[0] = i;//位数return i;}int mul(int *a, int *b, int *c)//高精度乘法；{int i, j;for(i=*a+1; i<=*a+*b+5; i++) a[i] = 0;for(i=*b+1; i<=*a+*b+5; i++) b[i] = 0;for(i=0; i<=*a+*b+5; i++) c[i] = 0;for(i=1; i<=*a; i++)for(j=1; j<=*b; j++)c[i+j-1] += a[i] * b[j];for(i=1; i<=*a+*b+5; i++){c[i+1] = c[i+1] + c[i] / 10;c[i] = c[i] % 10;}for(i=*a+*b+5; i>=1; i--)if(c[i]) break;c[0] = i;//位数return i;}int g(int n)//计算n个点任意图的个数；分别存在GG[][]中；{int i, j;int temp1[1000], temp2[1000];if(GG[n][0]) return GG[n][0];//返回总个数的长度（位数），高精度的；if(n == 1){GG[1][0] = 1;GG[1][1] = 1;return 1;}memset(temp1, 0, sizeof(temp1));memset(temp2, 0, sizeof(temp2));temp2[0] = 1; temp2[1] = 2;temp1[0] = 1; temp1[1] = 1;for(i=1; i<=(n-1)*n/2; i++)//n个点图的总边数为(n-1)*n/2;{mul(temp1, temp2, GG[n]);for(j=0; j<=GG[n][0]; j++)temp1[j] = GG[n][j];}return j;}int C(int x, int y)//计算高精度组合数；{int i, j;if(CC[x][y][0]) return CC[x][y][0];if((x == y) || (x == 0)){CC[x][y][0] = 1;CC[x][y][1] = 1;return CC[x][y][0];}C(x, y-1);C(x-1, y-1);add(CC[x][y-1], CC[x-1][y-1], CC[x][y]);return CC[x][y][0];}int f(int n)//计算n个点连通图的个数；{int i, j, k, temp[1000], temp1[1000];if(FF[n][0]) return FF[n][0];//返回个数的长度（位数）；memset(temp, 0, sizeof(temp));g(n);//求出n个点任意图的总个数；add(temp, GG[n], FF[n]);//计算FF[n][] = temp + GG[n][];for(i=1; i<=n-1; i++){C(i-1, n-1);//计算组合数;f(i);//计算i个点连通图的个数；mul(GG[n-i], FF[i], temp1);//计算temp1 = f(i)*g(n-i);mul(temp1, CC[i-1][n-1], temp);//计算temp = C(i-1, n-1) * temp1;min(FF[n], temp);//计算FF[n] = FF[n] - temp;}}int main(){int n, i, j, k;memset(FF, 0, sizeof(FF));memset(GG, 0, sizeof(GG));memset(CC, 0, sizeof(CC));while(scanf("%d",&n) && n){f(n);//printf("%d/n",FF[n][0]);for(i=FF[n][0]; i>=1; i--)printf("%d",FF[n][i]);printf("/n");}return 0;}