算法设计与分析

来源：互联网发布：骨朵数据网络剧排行编辑：程序博客网时间：2024/04/29 15:37

三 、例子 :

例6 设集合S有n个元素, 求S的最大和最小元素。为简单起见, 设n = 2^m , m>=0。

求集合S的最大元素, 可以采用下述算法。

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Procedure MAX(S)

begin

MAX ß S 中的任一元素

for S 中的所有其它元素x do

It X > MAX then MAX ß x

end

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结论 : 利用此算法, 进行n - 1次比较后就可以求出S的最大元素。用n - 2次比较就可以求出剩下的n - 1个元素的最小元素。所以如果要找出S中的最大和最小元素, 总共要进行 ( n – 1 ) + ( n– 2 ) = 2n - 3次比较。

*如果我们使用分治法来改善此算法, 则可以减少比较的次数。

(a) 把S分成大小相等的两个子集S₁和S₂, 所以S₁ 与S₂ 各有n / 2 = 2^m-1 个元素。

(b) 对S₁和S₂分别反复使用分治法, 求出最大及最小元素。

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produce MAXMIN(S)

begin

1. if ||S|| = 2 then

begin

2. let S = {a, b}

3. return (MAX(a, b), MIN(a, b))

end

else

begin

4. 分S成两个子集S₁和S₂, 且||S₁|| = ||S₂||= 1/2||S||

5. (max1, min1) ßMAXMIN(S₁)

6. (max2, min2) ßMAXMIN(S₂)

7. return (MAX(max1, max2), MIN(min1, min2))

end

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结论 : 如果S只有两个元素, 那就在第3行进行一次比较, 如果S有两个以上的元素, 则至第四行将S分成两个子集, 并在5, 6行递归使用MAXMIN, 第7行比较max1, max2及min1, min2。设S有n个元素, 则n = 2 时, T(2) = 1, n > 2时, T(n) = 3/2n - 2 , 就是说明了在n个元素的集合中寻找最大及最小元素至少要进行(3/2n – 2)次, 所以使用分治法可以减少比较的次数, 优于上一个算法。

{

定理 : 设a, b, c是非负常数, 递归式 b n = 1

T(n) = aT(n/c) + bn n >１

{

的解是

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 O(n) a < c

log_c2

T(n) =　　 O(nlogn) a = c

　　　　　 O(n ) a > c

第一小节 动态规划问题

例1：在 x+x₂+x₃+…+x_n=a是约束条件下，求的极大值.

令 ( 0 )

令且

可得a-x=x, 所以 x=a/2

故

同理

令

所以 a-x=2x , x=a/3

所以 f₃(a)=

用数学归纳法可以证明：f_n(a) = , x₁=x₂=x₃=…=x_n=

证明：1：n=1 …

2：设f_n(a) = , x₁=x₂=x₃=…=x_n= 成立，则

f_n+1(a)=max(+f_n(a-x))=max( )

令 y=

y’==

所以 nx=a-x ,(n+1)x=a

f_n+1(a)=+n=

我们刚才的解题策略是：“摸着石头过河”，f2 利用f1的结果，f3又利用f2的结果。。。。。。类似于游戏中的一个勇士打败了一些敌人后得到一件武器，然后去打败另一个强大一些的对手，得到一件更好的武器，接着打败更强大的敌人。。。。。最后取得胜利。。。

在实际生活中，有这么一类问题，它们的活动过程可分为若干个阶段，而且在任一阶段后的行为仅依赖于第I阶段的过程状态，而与I阶段之前的过程如何达到这种过程如何达到这种状态的方式无关，这样的过程就构成了一个多阶段决策过程。在50年代，贝尔曼（RichardBellman）等人根据这类问题的多阶段决策的特性，提出了解决问题的“最优性原理”从而创建了最优化问题的一种最新的算法设计方法——动态规划。