整数开平方

如何判断一个数是不是完全平方数？最简单的方法是通过下面的代码：

isSquare(int n) { int x = (int)Math.sqrt(n); return x*x == n;}

可能有人会担心，Math.sqrt是浮点运算，会不会由于精度的问题，造成x与实际值不等？比如开方应得2，但是实际得到1.9999999，取整后只得到1。这个担心是完全没有必要的。java文档里明确说明：结果为最接近该参数值的实际数学平方根的double 值。一个int值总是能够精确地用double值表示。最接近2的double值一定是2.0

 但是如果n是一个long类型，那么上面的方法可能就不适用了。因为double最多有十几位有效数字，所以对于特别大的long值，没有办法精确地用double值表示。那么如何判断一个long值是不是完全平方数呢？ 更进一步，如何求出一个long值（或int值）的平方根的整数部分呢？

 

一种可行的方法，是利用公式 1+3+5+...+(2n-1) = n*n

int sqrt1(int n) { int sum = 0; while(sum <= n) { sum += 2*(k++)+1;} return k-1;}

对于n是long的情况，只需把代码中的int改成long即可。（下同）

这个方法的缺点是比较慢，时间复杂度为O(sqrt(n))

 

一个比较快的方法是二分法，时间复杂度为O(log(n))

不幸的是，这个代码非常不容易写对，比如下面就是一种错误的写法：

int sqrt(int n) { if(n<0) throw new ArithmeticException(); if(n==0 || n==1) return n; int up = n; int low = 0; while(low < up) { int x = (up+low)/2; if(x*x > n) up = x-1; else if(x*x < n) low = x+1; else return x; } return low;}

 

 

一种基本上正确的写法如下。其思想是总是保证 low <= sqrt(n), up > sqrt(n):

public static int sqrt(int n) {if(n<0) throw new ArithmeticException();if(n==1 || n==0) return n;int up = n;int low = 0;while(low+1<up) {int x = (up+low)/2;if(x*x > n) up = x;else low = x;}return low;}

这个代码在n较小的时候没什么问题。但是在对比较大的数，比如1000000求根的时候，得到的不是1000，而是458753。

原因在于在中间的计算过程中，x*x可能会溢出。比如在第一次循环的时候，x=(1000000+0)/2=500000，x*x已经超出了int的范围。另外(up+low)是不是也存在着溢出的可能呢？

 

把程序改成下面这个样子就完全没有问题了：

public static int sqrt(int n) {if(n<0) throw new ArithmeticException();if(n==1 || n==0) return n;int up = n;int low = 0;while(low+1<up) {int x = low+(up-low)/2;if(x > n/x) up = x;else low = x;}return low;}