算法-----一苇渡江

算法(algorithm)一词源于算术(algorism)，即算术方法，是指一个由已知推求未知的运算过程。后来，人们把它推广到一般，把进行某一工作的方法和步骤称为算法。

广义地说，算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的算法，歌谱是一首歌曲的算法。在数学中，主要研究计算机能实现的算法，即按照某种机械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算法，等等。

 

 

1、 例题分析：

例1  任意给定一个大于1的整数n，试设计一个程序或步骤对n是否为质数[1]做出判定。

算法分析：根据质数的定义，很容易设计出下面的步骤：

第一步：判断n是否等于2，若n=2，则n是质数；若n>2，则执行第二步。

第二步：依次从2至（n-1）检验是不是n的因数，即整除n的数，若有这样的数，则n不是质数；若没有这样的数，则n是质数。

这是判断一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法。

例2  用二分法设计一个求议程x²–2=0的近似根的算法。

算法分析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过0.005，则不难设计出以下步骤：

第一步：令f(x)=x²–2。因为f(1)<0，f(2)>0，所以设x₁=1，x₂=2。

第二步：令m=(x₁+x₂)/2，判断f(m)是否为0，若则，则m为所长；若否，则继续判断f(x₁)·f(m)大于0还是小于0。

第三步：若f(x₁)·f(m)>0，则令x₁=m；否则，令x₂=m。

第四步：判断|x₁–x₂|<0.005是否成立？若是，则x₁、x₂之间的任意取值均为满足条件的近似根；若否，则返回第二步。

小结：算法具有以下特性：(1)有穷性；(2)确定性；(3)顺序性；(4)不惟一性；(5)普遍性

典例剖析：

1、基本概念题

                                 x-2y=-1,①

例3    写出解二元一次方程组                 的算法

                                 2x+y=1②

解：第一步，②-①×2得5y=3；③

    第二步，解③得y=3/5；

    第三步，将y=3/5代入①，得x=1/5

学生做一做：对于一般的二元一次方程组来说，上述步骤应该怎样进一步完善？

老师评一评：本题的算法是由加减消元法求解的，这个算法也适合一般的二元一次方程组的解法。下面写出求方程组 的解的算法：

第一步：②×A₁-①×A₂，得(A₁B₂-A₂B₁)y+A₁C₂-A₂C₁=0；③

第二步：解③，得 ；

第三步：将 代入①，得 。

此时我们得到了二元一次方程组的求解公式，利用此公司可得到倒2的另一个算法：

第一步：取A₁=1，B₁=-2，C₁=1，A₂=2，B₂=1，C₂=-1；

第二步：计算 与

第三步：输出运算结果。

可见利用上述算法，更加有利于上机执行与操作。

 

基础知识应用题

例4 写出一个求有限整数列中的最大值的算法。

解：算法如下。

   S1  先假定序列中的第一个整数为“最大值”。

   S2  将序列中的下一个整数值与“最大值”比较，如果它大于此“最大值”，这时你就假定“最大值”是这个整数。

   S3  如果序列中还有其他整数，重复S2。

   S4  在序列中一直到没有可比的数为止，这时假定的“最大值”就是这个序列中的最大值。

学生做一做   写出对任意3个整数a,b,c求出最大值的算法。

老师评一评   在例2中我们是用自然语言来描述算法的，下面我们用数学语言来描述本题的算法。

S1  max=a

S2  如果b>max, 则max=b.

S3  如果C>max, 则max=c.

S4  max就是a,b,c中的最大值。

综合应用题

例5 写出求1+2+3+4+5+6的一个算法。

分析：可以按逐一相加的程序进行，也可以利用公式1+2+…+n= 进行，也可以根据加法运算律简化运算过程。

解：算法1：

S1：计算1+2得到3；

S2：将第一步中的运算结果3与3相加得到6；

S3：将第二步中的运算结果6与4相加得到10；

S4：将第三步中的运算结果10与5相加得到15；

S5：将第四步中的运算结果15与6相加得到21。

算法2：

S1：取n=6；

S2：计算 ；

S3：输出运算结果。

算法3：

S1：将原式变形为(1+6)+(2+5)+(3+4)=3×7；

S2：计算3×7；

S3：输出运算结果。

小结：算法1是最原始的方法，最为繁琐，步骤较多，当加数较大时，比如1+2+3+…+10000，再用这种方法是行不通的；算法2与算法3都是比较简单的算法，但比较而言，算法2最为简单，且易于在计算机上执行操作。

学生做一做  求1×3×5×7×9×11的值，写出其算法。

老师评一评  算法1；第一步，先求1×3，得到结果3；

第二步，将第一步所得结果3再乘以5，得到结果15；

第三步，再将15乘以7，得到结果105；

第四步，再将105乘以9，得到945；

第五步，再将945乘以11，得到10395，即是最后结果。

算法2：用P表示被乘数，i表示乘数。

S1  使P=1。

S2  使i=3

S3  使P=P×i

S4  使i=i+2

S5  若i≤11，则返回到S3继续执行；否则算法结束。

小结  由于计算机动是高速计算的自动机器，实现循环的语句。因此，上述算法2不仅是正确的，而且是在计算机上能够实现的较好的算法。在上面的算法中，S3，S4，S5构成一个完整的循环，这里需要说明的是，每经过一次循环之后，变量P、i的值都发生了变化，并且生循环一次之后都要在步骤S5对i的值进行检验，一旦发现i的值大于11时，立即停止循环，同时输出最后一个P的值，对于循环结构的详细情况，我们将在以后的学习中介绍。

4、课堂小结

本节课主要讲了算法的概念，算法就是解决问题的步骤，平时列论我们做什么事都离不开算法，算法的描述可以用自然语言，也可以用数学语言。

例如，某同学要在下午到体育馆参加比赛，比赛下午2时开始，请写出该同学从家里发到比赛地的算法。

若用自然语言来描述可写为

（1）1:00从家出发到公共汽车站

（2）1:10上公共汽车

（3）1:40到达体育馆

（4）1:45做准备活动。

（5）2:00比赛开始。

若用数学语言来描述可写为：

S1    1:00从家出发到公共汽车站

S2    1:10上公共汽车

S3    1:40到达体育馆

S4    1:45做准备活动

S5    2:00比赛开始

大家从中要以看出，实际上两种写法无本质区别，但我们在书写时应尽量用教学语言来描述，它的优越性在以后的学习中我们会体会到。

5、自我评价

1、写出解一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的一个算法。

2、写出求1至1000的正数中的3倍数的一个算法（打印结果）

6、评价标准

1、解：算法如下

S1    计算△=b²-4ac

S2    如果△〈0，则方程无解；否则x1=

S3    输出计算结果x1，x2或无解信息。

2、解：算法如下：

S1    使i=1

S2    i被3除，得余数r

S3    如果r=0，则打印i，否则不打印

S4    使i=i+1

S5    若i≤1000,则返回到S2继续执行，否则算法结束。

7、作业：1、写出解不等式x²-2x-3<0的一个算法。

解：第一步：x²-2x-3=0的两根是x₁=3，x₂=-1。

第二步：由x²-2x-3<0可知不等式的解集为{x | -1<x<3}。

评注：该题的解法具有一般性，下面给出形如ax²+bx+c>0的不等式的解的步骤（为方便，我们设a>0）如下：

第一步：计算△= ；

第二步：若△>0，示出方程两根 （设x₁>x₂），则不等式解集为{x | x>x₁或x<x₂}；

第三步：若△= 0，则不等式解集为{x | x∈R且x }；

第四步：若△<0，则不等式的解集为R。

2、求过P(a₁,b₁)、Q(a₂,b₂)两点的直线斜率有如下的算法：

第一步：取x₁= a₁，y₁= b₁，x₂= a₂，y₁= b₂；

第二步：若x₁= x₂；

第三步：输出斜率不存在；

第四步：若x₁≠x₂；

第五步：计算 ；

第六步：输出结果。

3、写出求过两点M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。

解：算法：第一步：取x₁=-2，y₁=-1，x₂=2，y₂=3；

第二步：计算 ；

第三步：在第二步结果中令x=0得到y的值m，得直线与y轴交点(0,m)；

第四步：在第二步结果中令y=0得到x的值n，得直线与x轴交点(n,0)；

第五步：计算S= ；

第六步：输出运算结果

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