线性同余方程

 　在数论中，线性同余方程是最基本的同余方程，“线性”表示方程的未知数次数是一次，即形如：
　　ax≡b (mod n)
　　的方程。此方程有解当且仅当 b 能够被 a 与 n 的最大公约数整除（记作 gcd(a,n) | b）。这时，如果 x0 是方程的一个解，那么所有的解可以表示为：
　　{x0+kn/d|(k∈z)}
　　其中 d 是a 与 n 的最大公约数。在模 n 的完全剩余系 {0,1,…,n-1} 中，恰有 d 个解。
　　目录
　　* 1 例子
　　* 2 求特殊解
　　* 3 线性同余方程组
　　* 4 参见
　　例子
　　* 在方程
　　3x ≡ 2 (mod 6)
　　中， d = gcd(3,6) = 3 ，3 不整除 2，因此方程无解。
　　* 在方程
　　5x ≡ 2 (mod 6)
　　中， d = gcd(5,6) = 1，1 整除 2，因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有一个解: x=4。
　　* 在方程
　　4x ≡ 2 (mod 6)
　　中， d = gcd(4,6) = 2，2 整除 2，因此方程在{0,1,2,3,4,5} 中恰有两个解: x=2 and x=5。
　　求特殊解
　　对于线性同余方程
　　ax ≡ b (mod n) (1)
　　若 d = gcd(a, n 整除 b ，那么b/d为整数。由裴蜀定理，存在整数对 (r,s) （可用辗转相除法求得）使得 ar+sn=d，因此 x=rb/d}是方程 (1) 的一个解。其他的解都关于n/d与 x 同余。
　　举例来说，方程
　　12x ≡ 20 (mod 28)
　　中 d = gcd(12,28) = 4 。注意到 4 = 12 *(-2)+28*1，因此 x≡5*(-2)≡-10≡4(mod 7)是一个解。对模 28 来说，所有的解就是 {4,11,18,25} 。
　　线性同余方程组
　　线性同余方程组的求解可以分解为求若干个线性同余方程。比如，对于线性同余方程组：
　　2x ≡ 2 (mod 6)
　　3x ≡ 2 (mod 7)
　　2x ≡ 4 (mod 8)
　　首先求解第一个方程，得到x ≡ 1 (mod 3)，于是令x = 3k + 1，第二个方程就变为：
　　9k ≡ −1 (mod 7)
　　解得k ≡ 3 (mod 7)。于是，再令k = 7l + 3，第三个方程就可以化为：
　　42l ≡ −16 (mod 8)
　　解出：l ≡ 0 (mod 4)，即 l = 4m。代入原来的表达式就有 x = 21(4m) + 10 = 84m + 10，即解为：
　　x ≡ 10 (mod 84)
　　对于一般情况下是否有解，以及解得情况，则需用到数论中的中国剩余定理。
　　参见
　　* 同余方程
　　* 二次剩余
　　* 中国剩余定理