谈谈解线性同余方程
来源:互联网 发布:折扣软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 12:53
因为ACM/ICPC中有些题目是关于数论的,特别是解线性同余方程,所以有必要准备下这方面的知识。关于这部分知识,我先后翻看过很多资料,包括陈景润的《初等数论》、程序设计竞赛例题解、“黑书”和很多网上资料,个人认为讲的最好最透彻的是《算法导论》中的有关章节,看了之后恍然大悟。经过几天的自学,自己觉得基本掌握了其中的“奥妙”。拿出来写成文章。
那么什么是线性同余方程?对于方程:ax≡b(mod m),a,b,m都是整数,求解x 的值。
解题例程:pku1061 青蛙的约会 解题报告
符号说明:
mod表示:取模运算
ax≡b(mod m)表示:(ax - b) mod m = 0,即同余
gcd(a,b)表示:a和b的最大公约数
求解ax≡b(mod n)的原理:
对于方程ax≡b(mod n),存在ax + by = gcd(a,b),x,y是整数。而ax≡b(mod n)的解可以由x,y来堆砌。具体做法,见下面的MLES算法。
第一个问题:求解gcd(a,b)
定理一:gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
实现:古老的欧几里德算法
int Euclid(int a,int b)
{
if(b == 0)
return a;
else
return Euclid(b,mod(a,b));
}
附:取模运算
int mod(int a,int b)
{
if(a >= 0)
return a % b;
else
return a % b + b;
}
第二个问题:求解ax + by = gcd(a,b)
定理二:gcd(b,a mod b) = b * x' + (a mod b) * y'
= b * x' + (a - a / b * b) * y'
= a * y' + b * (x' - a / b * y')
= a * x + b * y
则:x = y'
y = x' - a / b * y'
实现:
triple Extended_Euclid(int a,int b)
{
triple result;
if(b == 0)
{
result.d = a;
result.x = 1;
result.y = 0;
}
else
{
triple ee = Extended_Euclid(b,mod(a,b));
result.d = ee.d;
result.x = ee.y;
result.y = ee.x - (a/b)*ee.y;
}
return result;
}
附:三元组triple的定义
struct triple
{
int d,x,y;
};
第三个问题:求解ax≡b(mod n)
实现:由x,y堆砌方程的解
int MLES(int a,int b,int n)
{
triple ee = Extended_Euclid(a,n);
if(mod(b,ee.d) == 0)
return mod((ee.x * (b / ee.d)),n / ee.d);
else
return -1;
}//返回-1为无解,否则返回的是方程的最小解
说明:ax≡b(mod n)解的个数:
如果ee.d 整除 b 则有ee.d个解;
如果ee.d 不能整除 b 则无解。
- 谈谈解线性同余方程
- 解 线性同余方程
- 线性同余方程
- 线性同余方程
- 线性同余方程
- 线性同余方程
- 线性同余方程
- poj 1061 (解线性同余方程)
- poj 1061 (解线性同余方程)
- 解线性同余方程的应用
- 高斯消元借模线性同余方程
- bzoj3122 线性同余方程
- 【专题】线性同余方程
- 解同余方程
- 一元线性同余方程&&一元线性同余方程组
- Poj2142解不定方程——一元线性同余
- POJ 2115 扩展欧几里德解线性同余方程
- HDU1573 X问题 解线性同余方程的应用
- csdn
- 守、破、离
- A
- 普京流行语录
- C#的委托与事件(张子阳原创)
- 谈谈解线性同余方程
- Ruby+Watir经验谈: 漫谈针对功能的自动化测试框架
- 利用Delphi编制应用程序来实现对Flash控件应用的诠释
- Joomla 插件 attachments 使用时出现不支持ZIP文件上传的错误
- Problem 1038
- C#连接sql server
- 《Linux内核修炼之道》精华版 之 方法论(提供pdf下载)
- C#批处理
- IIS中.swf文件不能显示