SVD分解

 定义：设A为m*n阶矩阵，A^HA的n个特征值的非负平方根叫作A的奇异值。记为σ_i(A)。>如果把A^HA的特征值记为λ_i(A)，则σ_i(A)＝λ_i(A^HA)^(1/2)。
>>

奇异值分解是线性代数中一种重要的矩阵分解，在信号处理、统计学等领域有重要应用。

定理（奇异值分解）设A为m*n阶复矩阵，则存在m阶酉阵U和n阶酉阵V，使得：>>

A = U*S*V’>>

其中S=diag(σ_i,σ₂,……,σ_r)，σ_i>0 (i=1,…,r)，r=rank(A)。

推论：设A为m*n阶实矩阵，则存在m阶正交阵U和n阶正交阵V，使得>>

A = U*S*V’>>

其中S=diag(σ_i,σ₂,……,σ_r)，σ_i>0 (i=1,…,r)，r=rank(A)。

说明：>>

1、        奇异值分解非常有用，对于矩阵A(m*n)，存在U(m*m)，V(n*n)，S(m*n)，满足A = U*S*V’。U和V中分别是A的奇异向量，而S是A的奇异值。AA'的正交单位特征向量组成U，特征值组成S'S，A'A的正交单位特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成SS'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。 >>

2、        奇异值分解提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（S的阶数）和A的秩相同，一旦秩r确定，那么U的前r列构成了A的列向量空间的正交基。
>>

matlab奇异值分解
>>

函数  svd>>

格式  s = svd (A)    %返回矩阵A的奇异值向量>>

[U,S,V] = svd(A)  %返回一个与A同大小的对角矩阵S，两个酉矩阵U和V，且满足= U*S*V'。若A为m×n阵，则U为m×m阵，V为n×n阵。奇异值在S的对角线上，非负且按降序排列。>>

[U1,S1,V1]=svd(X,0) %产生A的“经济型”分解，只计算出矩阵U的前n列和n×n阶的S。
>>

说明：>>

1.“经济型”分解节省存储空间。>>

2. U*S*V'＝U1*S1*V1'。>>