pku1659 Frogs' Neighborhood(havel定理)

 题目链接：http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1659

题意就是要我们求顶点度序列是否可简单图化，是就输出一种情况，否则就输出“NO”。

先说havel定理：

给定一个非负整数序列{d1,d2,...dn}，若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应，则称此序列可图化。进一步，若图为简单图，则称此序列可简单图化。

可图化的判定比较简单：d1+d2+...dn=0(mod2)。关于具体图的构造，我们可以简单地把奇数度的点配对，剩下的全部搞成自环。

可简单图化的判定，有一个Havel定理，是说: 我们把序列排成不增序，即d1>=d2>=...>=dn，则d可简单图化当且仅当d'=(d2-1, d3-1, ... d(d1+1)-1, d(d1+2), d(d1+3), ... dn)可简单图化。这个定理写起来麻烦，实际上就是说，我们把d排序以后，找出度最大的点(设度为d1)，把它和度次大的d1个点之间连边，然后这个点就可以不管了，一直继续这个过程，直到建出完整的图，或出现负度等明显不合理的情况。

定理的简单证明如下:
(<=)若d'可简单图化，我们只需把原图中的最大度点和d'中度最大的d1个点连边即可，易得此图必为简单图。
(=>)若d可简单图化，设得到的简单图为G。分两种情况考虑:
(a)若G中存在边(V1,V2), (V1,V3), ...(V1,V(d1+1))，则把这些边除去得简单图G'，于是d'可简单图化为G'
(b)若存在点Vi,Vj使得i<j, (V1,Vi)不在G中，但(V1,Vj)在G中。这时，因为di>=dj，必存在k使得(Vi, Vk)在G中但(Vj,Vk)不在G中。这时我们可以令GG=G-{(Vi,Vk),(V1,Vj)}+{(Vk,Vj),(V1,Vi)}。GG的度序列仍为d，我们又回到了情况(a)。

注：上面关于havel的描述和证明转自http://hi.baidu.com/liveroom/blog/item/6a55f854deb4f2183b293558.html。

有了定理的描述和证明，写这道题就应该简单了，以下是我的代码：

#include<iostream>#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<string.h>using namespace std;const int Max=12;bool map[Max][Max];struct gragh{int i;int num;}g[Max];struct pt_cmp{ bool operator () ( const gragh &a,const gragh &b ) const { return a.num < b.num;}};int main(){int Case;int n;int j,k;scanf("%d",&Case);while(Case--){memset(map,0,sizeof(map));scanf("%d",&n);for(j=1;j<=n;j++){g[j].i=j;scanf("%d",&g[j].num);}int end=n;bool flag=false;while(end){sort(g+1,g+1+end,pt_cmp());int x=g[end].num;if(x==0) break;for(j=end-1;j>=1;j--){x--; g[j].num--;map[g[end].i][g[j].i]=map[g[j].i][g[end].i]=1;if(x==0)break;}for(j=1;j<=end;j++)if(g[j].num<0){flag=1;break;}g[end].num=0;if(flag) break;end--;}if(flag) printf("NO/n");else{printf("YES/n");for(j=1;j<=n;j++){for(k=1;k<=n;k++){if(k>1) printf(" ");printf("%d",map[j][k]);} printf("/n");}}if(Case>=1) printf("/n");}return 0;}

再弱弱的说一下，这道题我开始想搜，但是没敢继续，后来发现有人搜过去的，才知道这道题的限制条件很强，不会tle。