方差分析与相关分析

一．方差分析

 

1．基本概念

 

方差分析的概念：比较组间方差是否可以用组内方差来进行解释，从而判断若干组样本是否来自同一总体。

 

方差分析，又称为ANOVA（Analysis Of Variance）分析。

 

方差分析可以一次检验多组样本，避免了t检验一次只能比较两组的缺陷。方差分析只能反映出各组样本中存在着差异，但具体是哪一组样本存在差异，无法进行判定。

 

 

 

考察下列例子：

 

    某厂使用四种不同颜色对产品进行包装，经过在五个城市的试销，获得销售数据如下（单位：万盒），试分析包装颜色对于销售量是否有影响。

 

  

观察数据的列平均值，列平均值的差异反映出不同颜色包装的销售业绩差异。此时，需要判断这种差异与同一颜色包装在不同城市间的差异相比，是否显著。如果不显著，则这种平均值的差异属于偶然差异。

 

 

2．方差分析原理

 

计算观察值的组间方差和组内方差，并计算两者的比值，如果该比值比较小，说明组间方差与组内方差比较接近，组间方差可以用组内方差来解释，从而说明组间差异不存在。

 

l         建立原假设“H0：各组平均数相等”

 

l         构造统计量“F＝组间方差／组内方差”

 

l         在计算组间方差时，使用自由度为（r-1），计算组内方差时，使用自由度为（n-r）。

 

l         F满足第一自由度为（r-1），第二自由度为（n-r）的F分布。

 

l         查表，若F值大于0.05临界值，则拒绝原假设，认为各组平均数存在差异。

 

 
根据方差计算的原理，生成方差分析表如下：

 

其中：

 

    组间离差平方和 SSA (Sum of Squares for factor A) ＝39.084

 

    误差项离差平方和  SSE (Sum of Squares for Error) ＝76.8455

 

    总离差平方和  SST (Sum of Squares for Total)＝115.9295

 

    P-value值为0.000466，小于0.05，所以拒绝原假设。

 

    F－crit是指0.05的边界值。

 

3．双因素方差分析

 

观察下列销售数据，欲了解包装方式和销售地区是否对于销售业绩有影响，涉及到双因素的方差分析。

 

此时需分别计算SSA、SSB与SSE之间的比值是否超过临界值。

 

其中SSE的自由度为  （n-r-k）

 

 

 

    计算方差分析表如下：

 

其中：

 

行差异（地区因素）对于销售无显著影响；

 

 

    列差异（包装因素）对于销售有显著影响。

 

   

 

    误差项SSE＝SST－SSA－SSB

 

  

 

二．相关分析

 

1．基本概念

 

相关关系：变量间非确定性的相互关联关系。表现为延着一条曲线两侧的一排点。

 

函数关系：变量间确定性的相互关联关系。表现为曲线上的点。

 

相关系数：Coefficient of correlation

 

 

观察下列数据：人均国民收入与人均消费金额之间存在着线性相关关系。

 

计算：r=0.9987，即人均国民收入与人均消费金额之间存在着强相关关系。

 

 

 

2．相关关系的检验：

 

相关系数接近1的程度除受相关性影响外，还受数据量n的影响。在n＝2时，相关系数确定为1。在相关程度相同的情况下，N越大，相关系数越小。

 

因此，在计算相关系数时，需要进行相关系数的检验，当r>临界值时，方可判断变量间存在相关关系。

 

相关系数只反映变量间的线性相关关系，当变量存在非线性的相关关系时，相关系数无法进行反映。

 

 

 

相关分析的临界值表

 

 

3．等级相关

 

相关系数衡量两个定距以上样本的相关关系，但对于定序尺度，无法进行计算。

 

等级相关用于两个定序尺度测量的样本间相关程度的测定。

 

将两个样本按观察数据的顺序进行配对，分别计算每个数据的秩，将两组样本的秩分别记录为U和V。

 

如果两个测度完全一致，则U与V的差异应当为0。

 

计算D＝U－V的平方和，该值越大，表明相关性越差。

 

如下计算斯皮尔曼等级相关系数（Spearman coefficient of rank correlation）

 

 

考虑一个两评委对歌手打分的问题，分别按歌手得分的顺序计算U和V，计算R＝0.3212。