魔法豌豆

小仙女有N个袋子，每个袋子装无限豆。N-1个袋子的豌豆是普通豆，每粒重一克。有一个袋子装的是魔法豌豆，每个中两克。每次，小仙女可以从每个袋子里取出若干豌豆，然后放在一起称有多重。由于称坏了，不能正确称出大于1717克的东西，即使大于1717克，称量的结果仍是1717克（不过称不会损坏）。请帮她在10次称量找出装有魔法豌豆的袋子，并找到N的最大值。

解：我们可以从N个袋子中的1716个袋子里面每次取一颗，如果称量的值为1717克时，我们得到此次1716个袋子中某一袋装的是魔法豌豆。然后重复上面的操作K次（K<10),我们总能得到在某一次1716个袋子中可能存在一袋装的是魔法豌豆，否则则为剩下豌豆的袋数为M.。所以，我们可以得到N的最大值是N=K*1716+M（K<10),那么我们怎么样才能确定这个K的最大值以及M的最大值。

首先，我们先确定下如果魔法豌豆在1716个袋子中某一袋需要找到魔法豌豆的次数。我们把袋子分成572，573，571袋三分，分别从每一份的袋子中取0，1，2颗，那么魔法豌豆称的可能重量分别是1715克，1716克，1717克。(K=K+1)

573=83×3+81×4，即把573个袋子分成7份，3份为83个袋子，4份为81个袋子。

从83的袋子里面依次分别0，1，2，81的袋子里面取3，4，5，6颗。撑得的可能重量分别为1707，1708，1709，1710，1711，1712，1713克。（K=K+1)

83=2×40+3，分成41份，40份两袋和一份3袋。3袋取0颗，2袋每份取1，2。。。40，则撑得重量为1640，1641，。。。。1680克。（K=K+1)

3=3×1    （略）  K=K+1=10    那么我们容易得到1716个袋子我们需要4次，那么K的最大值为6.。那么N=1716×6+M=10296+M

我们知道如果M<=1716,那么上述依然成立，这时，我们取M=1716求得暂时的最大解，那么是不是可以让M取更大的值，并且依然可以在4次以内找到装有魔法豌豆的袋子呢，事实上是可以的。

以上述分袋求解过程来看，最后总是要剩余袋子把分成每份为一袋的，那么我们就有了一个反推的过程。我们假设有K个一份的袋子，那么每袋取值分别为0，1，2，K-1,那么有取值在区间[(K-1)*K/2,(K-1)*K/2+K-1]内。容易求得K=58.(剩3次）

474=58×8+10，取0——8，得到范围为[1704,1711].(剩2次）

1519=474×3+97，取0——3，得到范围为[1713,1714,17151716](剩余一次）

M=1519×2+98=3136，取值0，1，2，得到范围为[1715,1716,1717]

最后得到Nmax=10296+3136=13432