论相对性原理2-洛仑兹坐标变换的数学原理

五、洛仑兹坐标变换的数学方法

　　X=γ(x-ut)

　　Y=y

　　Z=z

　　T=γ(t-ux/c^2)

　　(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度。)

　　相对论力学

　　(一)速度变换：

　　V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

　　V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))

　　V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))

　　(二)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ

　　(三)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

　　(四)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

　　(光源与探测器在一条直线上运动。)

　　(五)动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm.

　　(六)相对论力学基本方程：F=dP/dt

　　(七)质能方程：E=Mc^2

　　(八)能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2

　　狭义相对论公式及证明

　　单位 符号 单位 符号

　　坐标 m (x,y,z) 力 N F(f)

　　时间 s t(T) 质量 kg m(M)

　　位移 m r 动量 kg*m/s p(P)

　　速度 m/s v(u) 能量 J E

　　加速度 m/s^2 a 冲量 N*s I

　　长度 m l(L) 动能 J Ek

　　路程 m s(S) 势能 J Ep

　　角速度 rad/s ω 力矩 N*m M

　　角加速度 rad/s^2 α 功率 W P

　　一、牛顿力学（预备知识）

　　1．质点运动学基本公式：（1）v=dr/dt，r=r0+∫rdt

　　（2）a=dv/dt，v=v0+∫adt

　　（注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式）

　　当v不变时，（1）表示匀速直线运动。

　　当a不变时，（2）表示匀变速直线运动。

　　只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。

　　2．质点动力学：

　　（1）牛顿第一定律：不受力的物体做匀速直线运动。

　　（2）牛顿第二定律：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。

　　F=ma=mdv/dt=dp/dt

　　（3）牛顿第三定律：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。

　　（4）万有引力定律：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。

　　F=GMm/r^2，G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)

　　动量定理：I=∫Fdt=p2-p1（合外力的冲量等于动量的变化）

　　动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。

　　动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1（合外力的功等于动能的变化）

　　机械能守恒：只有重力或弹力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

　　（注：牛顿力学的核心是牛顿第二定律：F=ma，它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t)，若知受力情况，根据牛顿第二定律可得a，再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t)，可根据运动学基本公式求a，再由牛顿第二定律可知物体的受力情况。）

　　二、狭义相对论力学

　　（注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2)，β=u/c，u为惯性系速度。)

　　1．基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的。

　　（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。

　　（此处先给出公式再给出证明）

　　2．洛仑兹坐标变换：

　　X=γ(x-ut)

　　Y=y

　　Z=z

　　T=γ(t-ux/c^2)

　　3．速度变换：

　　V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

　　V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))

　　V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))

　　4．尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ

　　5．钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ

　　6．光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)

　　（光源与探测器在一条直线上运动。）

　　7．动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm

　　8．相对论力学基本方程：F=dP/dt

　　9．质能方程：E=Mc^2

　　10．能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2

　　（注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。）

　　三、三维证明

　　1．由实验总结出的公理，无法证明。

　　2．洛仑兹变换：

　　设(x,y,z,t)所在坐标系（A系）静止，（X,Y,Z,T）所在坐标系（B系）速度为u，且沿x轴正向。在A系原点处，x=0，B系中A原点的坐标为X=-uT，即X+uT=0。

　　可令

　　x=k(X+uT) (1).

　　又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数（广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。）同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.

　　故有

　　X=k(x-ut) (2).

　　对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得

　　Y=y (3).

　　Z=z (4).

　　将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即

　　T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5).

　　(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理,要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct，X=cT.

　　代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)，cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：

　　k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：

　　X=γ(x-ut)

　　Y=y

　　Z=z

　　T=γ(t-ux/c^2)

　　3．速度变换：

　　V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))

　　=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)

　　=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)

　　同理可得V(y),V(z)的表达式。

　　4．尺缩效应：

　　B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x，即：△l=γ△L,△L=△l/γ

　　5．钟慢效应：

　　由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2)，又△X=0，(要在同地测量)，故△t=γ△T.

　　（注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。）

　　6．光的多普勒效应：（注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).）

　　B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b)，波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b)，由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为

　　△t(a)=γ△t(b) (1).

　　探测器开始接收时刻为t1+x/c，最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c，则

　　△t(N)=(1+β)△t(a) (2).

　　相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即

　　ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3).

　　由以上三式可得：

　　ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).

　　7．动量表达式：（注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c）

　　牛顿第二定律在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛顿第二定律都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。

　　牛顿力学中，v=dr/dt，r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为(x,y,z)新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv，将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm（相对论质量）则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）

　　8．相对论力学基本方程：

　　由相对论动量表达式可知：F=dp/dt，这是力的定义式，虽与牛顿第二定律的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）

　　9．质能方程：

　　Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv

　　=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2

　　=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2

　　=Mc^2-mc^2

　　即E=Mc^2=Ek+mc^2

　　10．能量动量关系：

　　E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2

　　四、四维证明：

　　1．公理，无法证明。

　　2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt，即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，

　　dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1).

　　则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2>0称类空间隔，dS^2<0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求(1)式在坐标变换下形式不变，因此(1)式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。

　　由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴）

　　X=xcosφ+(ict)sinφ

　　icT=-xsinφ+(ict)cosφ

　　Y=y

　　Z=z

　　当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ

　　得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：

　　X=γ(x-ut)

　　Y=y

　　Z=z

　　T=γ(t-ux/c^2)

　　3．4．5．6．略。

　　7．动量表达式及四维矢量：（注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，下式中dt=γdτ）

　　令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。

　　则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）

　　四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)

　　四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)（F为三维力）

　　四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)

　　则f=mdV/dτ=mω

　　8．略。

　　9．质能方程：

　　fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0

　　故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）

　　由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0（F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式)）

　　故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM，即：Ek=Mc^2-mc^2

　　故E=Mc^2=Ek+mc^2

　　10．略。

 

六、狭义相对论基本原理

　　物质在相互作用中作永恒的运动，没有不运动的物质，也没有无物质的运动，由于物质是在相互联系，相互作用中运动的，因此，必须在物质的相互关系中描述运动，而不可能孤立的描述运动。也就是说，运动必须有一个参考物，这个参考物就是参考系。
　　伽利略曾经指出，运动的船与静止的船上的运动不可区分，也就是说，当你在封闭的船舱里，与外界完全隔绝，那么即使你拥有最发达的头脑，最先进的仪器，也无从感知你的船是匀速运动，还是静止。更无从感知速度的大小，因为没有参考。比如，我们不知道我们整个宇宙的整体运动状态，因为宇宙是封闭的。爱因斯坦将其引用，作为狭义相对论的第一个基本原理：狭义相对性原理。其内容是：惯性系之间完全等价，不可区分。
　　著名的麦克尔逊--莫雷实验彻底否定了光的以太学说，得出了光与参考系无关的结论。也就是说，无论你站在地上，还是站在飞奔的火车上，测得的光速都是一样的。这就是狭义相对论的第二个基本原理，光速不变原理。
　　由这两条基本原理可以直接推导出相对论的坐标变换式，速度变换式等所有的狭义相对论内容。比如速度变幻，与传统的法则相矛盾，但实践证明是正确的，比如一辆火车速度是10m/s，一个人在车上相对车的速度也是10m/s，地面上的人看到车上的人的速度不是20m/s，而是(20-10^(-15))m/s左右。在通常情况下，这种相对论效应完全可以忽略，但在接近光速时，这种效应明显增大，比如，火车速度是0。99倍光速，人的速度也是0。99倍光速，那么地面观测者的结论不是1。98倍光速，而是0。999949倍光速。车上的人看到后面的射来的光也没有变慢，对他来说也是光速。因此，从这个意义上说，光速是不可超越的，因为无论在那个参考系，光速都是不变的。速度变换已经被粒子物理学的无数实验证明，是无可挑剔的。正因为光的这一独特性质，因此被选为四维时空的唯一标尺。
　　由伽利略原理可得，在船舱里光的运动始终相对船舱是光速，无论船舱是静止的还是高速运动的，并不是什么C与V的叠加关系，相对船舱外，才是C与V的叠加关系。论述相对论的人，很多都没搞懂这个相对关系。
　　火车的速度是0.99倍声速，人的速度相对火车是0.99倍声速，在地面上的人听起来，火车上的人，也不是在以1.98倍声速运动。相对论，你们基本没有入门，许多物理现象，都没解释到点上。把别人的观点，全部理解成自己的错误观点，自己在跟自己的错误理解斗争。
　　一个超强电离的飞行器，理论上空气阻力忽略不计，那么速度越快，飞行器内温度越低。同理，在太空中高速--超光速飞行的载人飞行器内部温度随速度的增加而降低-系数暂时未知。
　　能量流动越快，生命体的寿命越短。相对于大海龟之类的，人类的大脑活动越快，衰老也就越快。

 

 

七、狭义相对论中注意的几个问题

　　绝对（完全静止的）参照系并不存在。
　　物理定律对任何参照系都一样。
　　在任何参照系中，光速恒定。
　　在不同的参照系中，事件没有同时性。
　　狭义相对论容易造成的错误论断：
　　速度增加，时间变慢。（只当在另一个参照系中看来成立）
　　速度增加，物体变短。（只当在另一个参照系中看来成立）
　　狭义相对论不能处理加速运动。（对于狭义相对论最大的误解）
　　质量随着速度增加。（能量增加，而不是静质量）
　　没有什么的速度比光速更快。从光速壁垒的任何一侧穿越都是不允许的。