置换群 Polya定理 基础 笔记
来源:互联网 发布:天然工坊 源码 编辑:程序博客网 时间:2024/05/14 18:42
1. 等价关系
表示二元集合的方法:
1.(a,b)CR:a, b 之间有R关系
2.关系矩阵:用矩阵Z,Zi,j表示Xi和Yj是否有关系,有则为1,无则为0
等价关系:满足以下三个性质
自反性:(a,a)CR
对称性:(a,b)CR => (b,a)CR
传递性:(a,b)CR,(b,c)CR =>(a,c)CR
等价类:将等价的元素归入一个集合
[a]R={x|xCA, (a,x) C 等价关系R}
显然等价类非空,因为至少有(a,a) CR
2. 置换群
群:满足四个性质的集合G,集合中的元素有运算*
封闭性:a, bCG => a*bCR
结合性:a*(b*c)=(a*b)*c
单位元e存在:对于G中任何元素a,a*e=e*a=a
逆元存在:对于G中任何元素a,存在b,s.t. a*b=b*a=e
则称G是对于运算*的群
置换:有限集G到有限集G的一一变换
置换群:
1. 含有n个元素的群G有n!个不同的置换
2. m阶循环:一个置换中有m个元素变化,n-m个不变
3. 当所有元素都不动时,称为单位元e
4. 置换的表示:(1,3,4,2)表示1->3, 3->4, 4->2, 2->1
5. Sn:n个元素的所有置换方式的集合,| Sn |=n!
6. 置换循环分解成换位的乘积时,换位个数的奇偶性不变
3. Burnside引理
Ck:k阶循环在一个置换中出现的次数是Ck,用(k)Ck表示
因此,Sn中的置换都可以用
(1) C1 (2) C2…(n) Cn
表示。
其中,∑(k*Ck)=n
共轭类:具有相同(1) C1 (2) C2…(n) Cn格式的置换群体
同一共轭类中的元素个数为
n!/ (∑Ck!*∑kCk)
K不动置换类:G是Sn的一个子群,Zk表示G中k不动的置换群。k所属的等价类记为Ek。有
|Ek|*|Zk|=|G|
例如:G={e, (12), (34), (12)(34) }
E1=E2={1, 2},Z1=Z2={e, (34) },|E1|*|Z1|=2*2=4=|G|
Burnside引理:
设G={a1, a2 … an},ai都是置换,其中a1=e。
Cj(ak)表示置换ak中j阶循环的个数
L=∑|Zk|/|G|,L表示N集合中引出不同等价类的数目
也就是G群中,用m种颜色给n个对象进行染色的不同方案数
4. Polya定理
对于置换群G={ g1, g2 … gn },gi的循环节数记为c(gi)。例如g3=(13)(24),则c(g3)=2
L=∑mc(gi)/|G|
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