polya定理

polya定理适用于染色问题方案数问题。

举个栗子：

poj1286  Necklace of Beads

当n = 4时，可顺时针旋转0、1、2、3格

0格：（1）（2）（3）（4）互相变化

1格：（1,2,3,4）互相变化

2格：（1,3）（2,4）互相变化

3格：（1,2,3,4）互相变化

用3种颜色染色，answer = (1/4) * (3^4+3^1+3^2+3^1)=24

当n = 5时，answer = (1/5) * (3^5+3^1*4)=51

以此类推。

下面是对称。

当n = 4时，有4条对称轴

其中2条，（1,2）（3,4）互相变化

另2条，（1）（3）（2,4）互相变化

answer= (1/4) * (2*3^2+2*3^3)=18

当n = 5时，有5条对称轴

每一条，（1）（2,5）（3,4）

answer=(1/5) * (5*3^3)=27

以此类推。

最终answer =（ 旋转+对称）/ 2。

ll gcd(int a,int b){if(b==0)return a;return gcd(b,a%b);}ll quick(int x,int y){ll sum=1;while(y){if(y%2==1){sum*=x;}x*=x;y/=2;}return sum;}ll opp(){if(m%2==0){return ((m/2)*(quick(n,m/2)+quick(n,(m-2)/2+2)))/m;}else{return quick(n,(m-1)/2+1);}}ll turn(){ll ans=quick(n,m);for(int i=1;i<m;i++){ans+=quick(n,gcd(i,m));}return ans/m;}