joseph问题-北航的一个ACM题目

 

 

 

问题:

 

我们都知道joseph问题，n个人围成一圈以m报数，报m的人被杀死，余下来的人接着从1报数，直到剩最后一人。

现在我们已知有k个好人，k个坏人，（1 <=k <=14）围成一圈报数，前k个为好人，后k个为坏人，求最小的m使得所有的坏人先被杀死(保证不死一个好人的情况）

 

来源： 北航的一个ACM题目----约瑟夫，求快速的解法！！！ (oyzdz1988）

 

解答：

解决方案为中国剩余定理。

1. 中国剩余定理

a) 简介：

  中国剩余定理是指若有一些两两复质的整数m[1],m[2],…m[n]，则对任意的整数：a[1],a[2],…,a[n]，以下联立同余方程组对模 m[1],m[2],…,m[n]有公解：

X=a[i] mod m[i] (i=1,…,n)

那么X有小于 m[1]*m[2]*…*m[n] 的唯一解。

b)  X的计算方法

     假设M= m[1]*m[2]*…*m[n] , 那么 k[i]=M/m[i]  ,计算l[i],使得 k[i]*l[i]=1 mod m[i]      

     X=( a[1]*k[1]*l[1]+ …+ a[n]*k[n]*l[n] ) mod M

2.  中国剩余定理在该题的应用

     显然m满足如下要求

              m=a[1] mod 2k

              m=a[2] mod (2k-1)

              …

               m=a[k] mod (k+1)

     由于2k , 2k-1 ,…, k+1 两两复素，可以使用中国剩余定理（显然，不予证明）

     注意到中国剩余定理的计算公式

      X= ( a[1]*k[1]*l[1] +…+ a[n]*k[n]*l[n] ) mod M

     其中当好人个数k给定时，k[i]*l[i] (i=1,…,n)都固定，要得到m的大小只和a[i]相关。要计算最小的m，只需要的到最小的一组a[i]，但是由于条件中限制不能杀死一个好人，因此a[i]有一定的取值防范，这就是该题难点。

     根据该题的题意有a[i]>0,所以a[i]最小为1，这就是该题的突破点，若能够让a[i]=1或取值范围中的最小值，就能够保证m最小。

     结论：

1）       a[1]=k+1，第一步最小取值

2）       a[i]=1 (i=2,…,k)，    最小值

      既，杀死坏人的顺序为k+1,k+2,k+3,…,2k。

步骤如下：杀死编号为k+1的坏人，那么编号为k+2的坏人此时从1开始报数，若m mod （2k-1） =1 ，该坏人被杀死，以此类推。

    

Ps:

第一步和第二部中的字母没有协调好，凑合的看吧