计算24点的程序及分析过程

计算24点的程序及分析过程

最近正在学习数据结构。和同事闲聊时，聊到了24点的问题（就是给出4个数，然后用加减剩除及括号算出24来），记得前一阵还在网上看了一道24点的题： 5 5 5 1 ，如何算出24来？当时想了好长时间没想出来。最近工作不是很忙就自己写一下程序练习一下吧。
以下讲述的是我思考该问题的思路及方法，如有不当之处请赐教：）
我首先想到的是用穷举法，因为就4 个数和4 个运算符再加上括号，表达式的数量不会很多，我算了一下，运算数：4×3×2×1=24,运算符：4×4×4×4=256,再括号应该是10种（没有优化的情况），总共是：24×256×10=61440，用穷举的话也很快（其实是想不到时其它办法：）
要穷举的话，可以大体分为三部分：
1.生成表达式
2.计算表达式的值
3.输出正确的结果
其中以上三步最复杂的是第一步（其实要是写程序的话，第2步应该是最麻烦的，但是php已经为我们提供的简单的方法，稍后讨论）
生成表达式时，我决定采用递归来写，原因是写起来简单些，但效率会稍低一些。
生成表达式也就是一个组合的问题，大体算法就像这样：

        $str = array(1,2,3,4);
    $r   = array();

        function c($k)
        {
                global $str;
                global $r;
                if ( $k == 4 ) {
                        display();
                        return;
                }
                                                                                                               
                for ($i = 0; $i < 4; $i++) {
                        $r[$k] = $str[$i];
                        c($k+1);
                }
        }

以上程序稍加改动就成了N皇后的解法。
还是感觉用递归写比较简洁一些。
有了以上的程序，再做一睦简单的改动便可以生成我们所需要的表达式（详见后面的程序）。
另外还有一点就是括号的问题，为了减少复杂度，我是直接在生成的表达式里添加上括号的，把所有的括号形式都写上（最好优化一下，要不然会产生很多有多余括号的表达式）。

写好了生成表达式的函数后，这个程序的工作就算做完一多半了。第二步计算表达式的值我用到了php的一个函数：eval(),有了这个函数可真是省了不少力，只需一行便能把字符串的表达式算出结果（具体用法可以查一下手册），妙！

剩下的第三点就简单了，真是输出一下结果而以。
以下是程序的完整代码，如有好的建议请多多指教：

<?php
                                                                                                               
        /***************************************************************************************
         * 功能：本程序的功能是给出4个数，求出通过 '+'、'-'、'*'、'/'及括号运算,结果为24的所有解
         * 参数说明:接收4个数字，用空格分开
         * es: 24point 1 2 3 4
         * 输出：输出所有正确的解
         *
         * Author : xks
         * Email  : [e-mail]
         *
         * 一  8月 22 16:45:48 CST 2005
         ***************************************************************************************/
                                                                                                               
        define('OPERANDNUM', 4); //支持的运算数的个数，本程序只支持4个
        define('RESULT', 24);   //所要求的结果是24, 也可改为其它值
        $operand = array(); //运算数
        $operator = array('+', '-', '*', '/'); //运算符(不包括括号，括号在本程序中直接加上的）
        $exp    = array(); //生成的表达式
        $rightexp = array(); //正确的表达式
        $rightnum = 0; //正确的表达式的数目
        $lenoperator = count($operator); //运算符的个数(不包括括号)
        $lenexp = $lenoperator + OPERANDNUM; //整个表达式的长度（不包括号)
                                                                                                               
        //从命令行接收运算数,本程序只支持4个
        if ($argc != OPERANDNUM + 1) {
                echo "Arguments error!/n";
                echo "es: 24point 1 2 3 4/n";
                return;
        }
        else {
                for ($i = 0; $i < OPERANDNUM; $i++)
                        $operand[$i] = $argv[$i+1];
        }

        $opetimes = array_count_values(array_slice($operand, 0));//统计每个运算数出现的次数，
                                                                 //用来检测是否有重复表达式
        //开始计算
        Createexp(0);
                                                                                                               
        //递归函数，用来根据输入的运算数生成表达式，并且调用 calculate()函数计算表达式的结果
        function CreateExp($k)
        {
                global $operator;
                global $operand;
                global $lenoperator;
                global $exp;
                global $lenexp;
                global $opetimes;
                                                                                                               
                $i = 0;//运算数计数
                $j = 0;//运算符计数
                                                                                                               
                //生成表达式后传给 calculate()计算
                if ($k == $lenexp - 1) {
                        calculate($exp);
                        return;
                }
                while ($i < OPERANDNUM && $j < $lenoperator) {
                        //当k为奇数时，则$exp[$k]应该填入运算符，否则$exp[$k]应该填入运算数
                        //ps:我在写这条注释的时候，突然头脑中闪过一个问题：0是偶数吧?呵呵小学里的概念都记不清
                        //了，我问了两位同事竟然也有不同的答案，google了一下，竟然发现有好多人在讨论 0是奇数
                        //还是偶然的问题，真是有意思。所以这里先定为奇数和非奇数吧:)
                        if ($k % 2 == 0) {
                                /* 去除相同数字开头的表达式，避免产生重复的表达式
                                 * 例如:3 5 3 2 ,以第一个3开头的表达式和以第二个3开头的表达式是相同的，
                                 * 所以如果运算数中有相同的数字，则只处理第一个出现的数字
                                */
                                if ( in_array($operand[$i], array_slice($operand, 0, $i)) && $k == 0) {
                                        break;
                                }
                                                                                                               
                                //测试一个表达式中是否有超过运算数出现的次数的数,不太好理解，也就是说
                                //比如4个运算数为：3 5 3 2 ，下面的语句就是为了防止一个表达式中
                                //出现3个3的情况
                                $expcount = array_count_values(array_slice($exp, 0, $k));
                                if ($expcount[$operand[$i]]=='' ||
                                                $expcount[$operand[$i]] < $opetimes[$operand[$i]] ) {
                                        $exp[$k] = $operand[$i++];
                                }
                                else {
                                        $i++;
                                        continue;
                                }
                        }
                        else {  //奇数的情况
                                $exp[$k] = $operator[$j++];
                        }
                        //递归调用
                        CreateExp($k+1);
                }
        }
                                                                                                               
        function calculate($exp)
        {
                global $rightexp;
                global $rightnum;
                global $rightnum;
                                                                                                               
                //去除重复的表达式，我在本程序中的做法是将正确的表达式存到一个数组中，产生新的表达式时，
                //先在数组中查找一下是否已经出现过。Not a good idea! 但暂时想不到更好的办法。
                //虽然在前面已经做了部分过滤工作，但是当运算数有重复值的时候还是无法避免出现产生重复表达式
                //只好采用此方法
                $strexp = implode('', $exp);
                if ( array_search( $strexp, $rightexp ))
                        return;
                                                                                                               
                $rightexp[$rightnum++] = $strexp;
                $exp2 = array();
                $i = 0;
                                                                                                               
                /* 以下是对添加上括号的表达式处理方法，已经做过优化，不会产生多余括号的情况
                 * 具体方法可以自己分析一下，写的不是很优雅。
                 * 4个数可以产生的表达式变形如下(运算数之间的空格用运算符填充):
                 *               a   b    c   d
                 *               a   b   (c   d)
                 *              (a   b)  (c   d)
                 *              (a   b   c)   d
                 *               a  (b   c)   d
                 *               a  (b   c   d)
                 *              (a  b) c  d
                 * 另外还有4种情况，经过分析后都可以优化掉。
                */
                                                                                                               
                $exp2[$i++] = "$exp[0]$exp[1]$exp[2]$exp[3]$exp[4]$exp[5]$exp[6]";
                if ( mulordiv($exp[3]) && addorsub($exp[5]))
                        $exp2[$i++] = "$exp[0]$exp[1]$exp[2]$exp[3]($exp[4]$exp[5]$exp[6])";
                if ( mulordiv($exp[3]) && mulordiv($exp[5]) && addorsub($exp[3]))
                        $exp2[$i++] = "($exp[0]$exp[1]$exp[2])$exp[3]($exp[4]$exp[5]$exp[6])";
                if ( mulordiv($exp[5])  &&  (addorsub($exp[1]) || addorsub($exp[3])) )
                        $exp2[$i++] = "($exp[0]$exp[1]$exp[2]$exp[3]$exp[4])$exp[5]$exp[6]";
                if ( (mulordiv($exp[1])  || mulordiv($exp[5])) && addorsub($exp[3]) )
                        $exp2[$i++] = "$exp[0]$exp[1]($exp[2]$exp[3]$exp[4])$exp[5]$exp[6]";
                if ( (mulordiv($exp[1])  || mulordiv($exp[5])) && addorsub($exp[3]) )
                        $exp2[$i++] = "$exp[0]$exp[1]($exp[2]$exp[3]$exp[4])$exp[5]$exp[6]";
                if ( (addorsub($exp[1]) ||  addorsub($exp[3]))  && mulordiv($exp[1]) )
                        $exp2[$i++] = "$exp[0]$exp[1]($exp[2]$exp[3]$exp[4]$exp[5]$exp[6])";
                if ( addorsub($exp[1]) && mulordiv($exp[3]) )
                        $exp2[$i++] = "($exp[0]$exp[1]$exp[2])$exp[3]$exp[4]$exp[5]$exp[6]";
                                                                                                               
                // 计算表达式的值，其中有一个很重要的技巧：eval(),这个函数可真是好用，帮我省掉了1xx行代码
                // 利用这个函数可以直接求出表达式的值，而不用再去分析表达式以及运算符的优先级等等
                // 求表达式的值属于编译原理的知识，如果你正在学的话，那自己写个求表达式的程序练习一下
                //是个不错的建议 u
                for ($j = 0; $j < $i; $j++) {
                        $result = 0;
                        @eval("/$result=$exp2[$j];");
                        if ($result == RESULT) {
                                display($exp2[$j]);
                        }
                }
        }
                                                                                                               
        //显示表达式
        function display($exp)
        {
                echo $exp  . '=' . RESULT ."/n";
        }
                                                                                                               
        //测试$opt 是否为'+' or  '-'
        function addorsub($opt)
        {
                return ($opt == '+' || $opt == '-');
        }
                                                                                                               
        //测试$opt 是否为'*' or  '/'
        function mulordiv($opt)
        {
                return ($opt == '*' || $opt == '/');
        }
                                                                                                               
?>