符号三角形问题；回溯算法；子集树问题；时间复杂度O(2的n次方);

#include <iostream>using namespace std;class Triangle{private:int num;//第一行的符号数量int **p;//存储+ -号，0表示-，1表示+int count;//记录+号数量,根据+号数量，可以用i*(i+1)/2-count求出减号数量int sum;//记录+与-数量相等且等于num*(num+1)/4的情况const int half;//加号=等号=总符号数/2public://构造函数Triangle(int num):half(num*(num+1)/4){this->num=num;count=0;sum=0;p=new int* [num+1];for(int i=0;i<=num;i++){p[i]=new int[num+1];//开辟一个num*num的矩阵，用于在回溯过程中记录三角形符号分布}}//调用回溯算法，并且先判断num*(num+1)/2是否为奇数void triangleSolve(){if(num*(num+1)/2%2==0){triangle(1);display();}else{cout<<"不存在可能性"<<endl;return;}}//回溯核心算法void triangle(int i){if(i>num){++sum;return;}for(int j=0;j<=1;j++){p[1][i]=j;count+=j;for(int k=2;k<=i;k++){p[k][i-k+1]=p[k-1][i-k+1]^p[k-1][i-k+2];//相同则为1，不同则为0，代表题目的规则.1为+，0为-count+=p[k][i-k+1];}if(count<=half&&i*(i+1)/2-count<=half)//剪枝函数，约束函数，如果当前的+，-都小于符号数一半，那么继续递归{triangle(i+1);}//恢复现场for(int k=2;k<=i;k++){count-=p[k][i-k+1];//减去新加入右侧边的+符号数量}count-=j;//减去i位置的+数量}}void display(){cout<<"边长为"<<num<<"的情况下，一共有"<<sum<<"种符号三角形具有同等数量的+与-号"<<endl;}};void main(){Triangle test(7);//设置第一行有7个符号test.triangleSolve();//解决问题}

 

求+，-数量相等的三角形数量，整个三角形只与第一行的符号有关。

 

所以可以逐次安排第一行的每一个符号，由于每次安排好一个符号，那么就会在原确定的三角形最右侧加一条三角形边。 所以，利用回溯法，逐次对第一行每一个位置的符号做出选择，并且扩充新的三角形边。 为了实现回溯算法的优化，必须有剪枝函数，所以这里用+，-都小于总符号数的一半作为约束，只要能够递归到第n+1个字符，说明1到n个字符的安排都满足+<=half,-<=half，所以就是+与-数量相等，sum++。  为了在回溯过程中能够及时的计算出三角形的最新状况，所以设置了二维数组用于存储三角形，根据图形的关系可以求出三角形的右侧边加入到二维数组中。