关于环和域的18.3节问题的分析

前序内容是例题18.2，然后来看上学期遗留的第18.3节限域上的多项式环的不明白的地方：

1.例题18.15,课本印刷错误，需要看我上传的电子版的这个教材，

    从已知有：F={0,1},F[x]={0,1,x,1+x,……}，g（x）≡h(x)(mod f(x))，即f(x)|(g(x)-h(x))，也就是g(x)和h(x)是模f(x)同余的。

   下面关于g(x),h(x)红字部分理解有：

    同样的余数代表某种相同的性质。eg.两个整数m,n同时被正整数p来除，若余数相同，则称m,n对“模”p是同余的，记成m≡n(mod p)。如果m≡0(mod p)，则说m能被p整除。eg.3%9=3；12%9=3，则3≡12（mod 9）  ---------（感谢《数聊》扩充了笔者的数学知识面）

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那么来看这道题：

对于第一组同余关系显然成立：

对于第二组同余关系分析如下：

  

     (1+x)%f(x)  =  （1+x）%(1+x)=0；

  （1+(x^2))%f(x) =（1+（x^2))%(1+x)=x(x-1)

而对于余数应该是 x(x-1) = x(x+1-2)

                        = x(x+1-2%2)//由于F是模2的有限域，即1+1=0

                        = x(x+1)

那么（1+(x^2))%f(x)=0成立.

  (x+x^2)%f(x) = (x+x^2)%(1+x)=x(1+x)%(1+x)=0

则有下列成立：                  

 

 

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2.

  表18.1，课本没有错误。理解是这样的：

   在F={0,1}即模2的有限域条件下，

   假设左侧一列是g(x),右侧一行为h(x),

   对于F2[x]/(1+x+(x^2))={0,1,x,1+x}关于模1+x+(x^2)的加法运算表中：

   0是加法的单位元

   当g(x)与h(x)次数不同时，

  1）g(x)次数低于h(x)时，比如：坐标（2,4）=x，实际上是(1+x)+1=2%2+x=0+x=x

  2）g(x)次数高于h(x)时，比如：

坐标(3,2)=1+x，在F的模1+x+(x^2)多项式环F2[x]/(1+x+(x^2))={0,1,x,1+x}中封闭，则为(3,2)=1+x

  当g(x)与h(x)相同时，直接填0，因为f(x)|(g(x)-h(x))。

In sum,该加法运算表一定是正确的，且与g(x)和h(x)的次数关系无关。

   对于F[x]/(1+x+(x^2))={0,1,x,1+x}关于模1+x+(x^2)的乘法运算表中： 

   1是乘法的单位元

   比如：坐标（3,3）=1+x,按照x*x=(x^2)%(1+x+(x^2))=1+x;

         坐标（4，4）=x，按照（1+x）*（1+x）=1+(x^2)+2x

                                                                   = 1+(x^2)+（2%2）x

                                                                   =1+(x^2)

                                                                   = 1+(x^2)%(1+x+(x^2))

                                                                   =x 

 In sum,该乘法运算表一定是正确的。

比较1和2，概念不可混淆，注意“=”和“≡”是两个完全不同的概念。

以上为个人理解， 水平有限，恳请指正，不胜感谢。