数值逼近学习笔记2

数值积分

3. 外推算法.

在前面我们已经知道,通过逼近,我们可以对一个离散的序列求得它的函数积分的值的大小,通过外推算法我们可以用这样一个逼近序列来生成新的逼近序列,在新的序列下,我们可以更准确地接近原函数,从而更加准确地求出积分,这样的方法叫外推算法.

算法1: Richardson算法
对于由一个步长定义的某个函数,如果我们对于步长值h使用比例因子进行scale的话,在比例因子为一定取值的时候,发现得到的新逼近序列比原序列的逼近误差更小,这样的外推算法叫Richardson算法.

算法2: Romberg算法
想法跟上面的Richardson算法类似,不过如果每次的scale值都进行1/2细化,这样的话,逼近的结果会比原序列的更好,这样的外推算法叫Romberg算法.

4. 用样条函数求解数值积分问题

将样条空间进行N等分,并在每个样条节点处都进行一个点的拓延,那么这样的话,就可以对样条函数进行积分,有比较好的收敛性,这样的积分也会比较准确.

5. 振荡函数的积分

对于振荡函数,我们可以利用分部积分法,对于每一个单符号空间进行分别的积分,并最后求和.但是有一个很大的问题在于,我们需要计算f(x)在端点处的高阶导数.

数值微分

数值微分可以认为是数值积分的反运算,与积分相反,我们在做数值微分的时候基本的方法就是使用差商来近似微分运算.基于这样的想法我们可以设定一个插值函数,让它的微分等于原函数的微分,那么我们就可以用这个插值函数来求解原始的数值微分运算了.

其实数值微分中应用的思想跟数值积分的思想极为类似,我们除去用基本的方法来求解之外,也可以使用样条函数来进行求解,方法想法也是一样的,假设设定一个样条函数的微分值与原函数相同,那么我们求解这个问题得到的结果就是我们想要得到的结果.并且我们为了得到更加理想的逼近效果,我们可以使用外推公式来用新的生成序列来代替原始的插值序列,得到加速收敛.从而求得更加准确的微分结果.

正交多项式和数值积分的进一步讨论

在之前的插值公式中,我们限定所有的插值节点之间都是等距的,那么如果在插值节点个数确定的情况下,如果我们不限定等距条件,如何进行逼近呢?这就是正交多项式中的逼近理论.

1. 正交多项式的性质

一个权函数就是一个值定大于等于0,积分值大于等于0,且与一个多项式值进行混积的时候的积分值存在的函数.两个多项式序列,如果与一个权函数混积之后积分发生正交关系的话,我们就叫这两个多项式序列在区间上带权n次正交.

常见的正交的多项式有:勒让德多项式,第一类契比晓夫多项式,第二类契比晓夫多项式,拉盖尔多项式,埃尔米特多项式等.

2. 高斯型的求积公式

利用正交多项式的性质,把原始函数与权函数相混积的数值积分式转变为由正交多项式的和的形式.由权函数的不同,使用的正交多项式的类型也不同,这样就有了各种各样的求积公式.比如高斯-勒让德,高斯-拉盖尔,高斯-埃尔米特,高斯-契比晓夫等公式,差别就在于构造出的Ak的值的不同.

3. 奇异积分的数值方法

对于在在(0,1]中连续但是在x=0处无界的函数,那么对于这样的一个函数的在(0,1]上的积分称为反常积分.这时我们可以把出现反常值的点进行正常代换,这样我们就可以用正常积分的计算方法得到积分值.其次,我们可以用极限过程在反常点处进行取极限的运算,取得的结果就会比较快地逼近准确值.再一个方法我们可以把反常点进行截尾分析估计，当这部分估计值小于某一个小的正数值的时候，我们定义这样的结果是可以被接受的。方法4,我们可以通过消除它的一些奇性来得到反常函数的么常积分。

对于无穷积分我们也有类似的处理办法。方法1，按极限方式运算，方法2，使用高斯型求积公式计算，方法3,利用插值公式进行计算，方法4,利用样条函数进行计算。