z=xy的图形 &空间曲面所围形体的体积 &空间曲面相截的面积

z=xy变为标准的双曲函数即可，可设:

   x=ξ+ζ, y=ξ-ζ   则   z=ξ^2-ζ^2；

z=xy的图形可由此做出。

z=xy的图形是双曲抛物面

只要在曲面z=x^2-y^2的图形中将x轴和y轴水平顺时针旋转45°即可得到z=xy的图形：

 

求曲面z=xy,x＋y＋z=1,z=0 所围形体的体积， 不会画积分域?

不是所有的题都必须准确画出图形的。很多是很难画的。

把取指范围确定就可以计算了。

画出投影域的图形就可以计算了。

精髓一：

z＝xy是双曲抛物面，就是马鞍面。
立体在xy坐标面上的投影是由x轴，y轴，直线x+y＝1围成的区域D。两个曲面z＝xy，x+y+z＝1的交线在xy坐标面上的投影是曲线：xy＝1－x－y，此曲线把区域D分成两部分。
D1由曲线xy＝1－x－y与x+y＝1围成，D2由x轴，y轴，xy＝1－x－y围成。
立体的边界曲面中曲面z＝xy的部分在xy坐标面上的投影是D2，曲面z1－x－y的部分在xy坐标面上的投影是D1。
所以体积V＝

精髓二：

求用平面x+y+z=b与曲面x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=a^2相截所的截断面的面积？

1．先用文灯的变量代换法：
配方消z得 (x-y)2+(2x+y-b)2+(x+2y-b)2=2a2 ① , 所围区域为D
令u+v=2x+y-b , u-v= x+2y-b化简得 u2+3v2=a2 ，所围区域为D*
雅各宾行列式 J = 偏（x，y）/ 偏 (u ，v) = － 2 /3
面积 S = 曲面积分 = √3*二重积分D = √3*（2 /3）*二重积分D*
= √3 *（2 /3）* π * a * (a /√3 ) =（2 /3）π a2
   下面是我自己的方法：
曲面有轮换对称性，对称轴是x=y=z，此轴与平面垂直，故断面是正横截面
根据经验知道曲面是空间的圆柱面，在平面与柱面交线上取点P(x，y，z)
平面和对称轴的交点为G(b/3，b/3，b/3)= (c，c，c)
两点距离的平方 d2=(x-c)2+(y-c)2+(z-c)2=(x-c)2+(y-c)2+(b-c-x-y)2=
2x2+2y2+2xy-2bx-2by+2c2+(b-c)2=2x2+2y2+2xy-2bx-2by+(2/3)b2=(2/3)a2
(∵由 ①可得6x2+6y2+6xy-6bx-6by+2b2=2a2，而P同时在平面和曲面上)
故知道交线是空间平面上半径平方是(2/3)a2的圆，其面积是（2 /3）π a2。