n!的尾数有多少个零？

问题描述
给定参数n（n为正整数），请计算n的阶乘n！末尾所含有“0”的个数。
例如，5！=120，其末尾所含有的“0”的个数为1；10！= 3628800，其末尾所含有的“0”的个数为2；20！= 2432902008176640000，其末尾所含有的“0”的个数为4。

计算公式
这里先给出其计算公式，后面给出推导过程。
令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数，则有：
   当0 < n < 5时，f(n!) = 0;
   当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。

问题分析
显然，对于阶乘这个大数，我们不可能将其结果计算出来，再统计其末尾所含有的“0”的个数。所以必须从其数字特征进行分析。下面我们从因式分解的角度切入分析。

我们先考虑一般的情形。对于任意一个正整数，若对其进行因式分解，那么其末尾的“0”必可以分解为2*5。在这里，每一个“0”必然和一个因子“5”相对应。但请注意，一个数的因式分解中因子“5”不一定对应着一个“0”，因为还需要一个因子“2”，才能实现其一一对应。

我们再回到原先的问题。这里先给出一个结论：
结论1： 对于n的阶乘n！，其因式分解中，如果存在一个因子“5”，那么它必然对应着n！末尾的一个“0”。
下面对这个结论进行证明：
(1)当n < 5时, 结论显然成立。
(2)当n >= 5时，令n！= [5k * 5(k-1) * ... * 10 * 5] * a，其中 n = 5k + r (0 <= r <= 4)，a是一个不含因子“5”的整数(非5的倍数的所有数的乘积)。
对于序列5k, 5(k-1), ..., 10, 5中每一个数5i(1 <= i <= k)，都含有因子“5”，并且在区间(5(i-1),5i)(1 <= i <= k)内存在偶数，也就是说，a中存在一个因子“2”与5i相对应。即，这里的k个因子“5”与n！末尾的k个“0”一一对应。
我们进一步把n！表示为：n！= 5^k * k! * a（公式1），其中5^k表示5的k次方。

上面证明了n的阶乘n！末尾的“0”与n！的因式分解中的因子“5”是一一对应的。也就是说，计算n的阶乘n！末尾的“0”的个数，可以转换为计算其因式分解中“5”的个数。

令f(x)表示正整数x末尾所含有的“0”的个数, g(x)表示正整数x的因式分解中因子“5”的个数，则利用上面的的结论1和公式1有：
   f(n!) = g(n!) = g(5^k * k! * a) = k + g(k!) = k + f(k!)
所以，最终的计算公式为：
当0 < n < 5时，f(n!) = 0;
当n >= 5时，f(n!) = k + f(k!), 其中 k = n / 5（取整）。

计算举例
f(5!) = 1 + f(1!) = 1
f(10!) = 2 + f(2!) = 2
f(20!) = 4 + f(4!) = 4
f(100!) = 20 + f(20!) = 20 + 4 + f(4!) = 24
f(1000!) = 200 + f(200!) = 200 + 40 + f(40!) = 240 + 8 + f(8!) = 248 + 1 + f(1) =249

 

参考程序

/*100!的尾数有多少个零？
问题分析与算法设计:　　
可以设想：先求出100!的值，然后数一下末尾有多少个零。由于计算机
所能表示的整数范围有限，这是不可能的。为了解决这个问题，
必须首先从数学上分析在100!结果值的末尾产生零的条件。
不难看出：一个整数若含有一个因子5，则必然会在求100!时产生一个零。
因此问题转化为求1到100这100个整数中包含了多少个因子5。
若整数N能被25整除，则N包含2个因子5；若整数N能被5整除，则N包含1个因子5。
*/

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
 /*
 //处理0~1000内的数
 int i=0;
 int count=0;
 int num;
 cout<<"请输入一个整数：";
 cin>>num;
 for(i=5;i<=num;i+=5)
 {
  count++;        //若为5的倍数，计数器加1
  if(i%25==0)
  {
   count++;    //若为25的倍数，计数器再加1
   if(i%125==0)
   {
    count++; //若为125的倍数，计数器再加1
    if(i%625==0)
     count++; //若为625的倍数，计数器再加1
   }
  }
 }
 cout<<num<<"!的结尾有"<<count<<"个0"<<endl;*/

 //处理任意输入的数
 int i=0,count=0,weishu=1;
 int num;
 cout<<"请输入一个正整数：";
 cin>>num;

    //计算出num的位数，(n位数)内能够出现5最大次方数为5^n,如1000内最大为5^4=625
 for(int x=10;;x*=10)  
 {
  if(num/x!=0)
   weishu++;
  else
   break;
 }                 

 for(i=5;i<=num;i+=5)
 {
  count++;            //若为5的倍数，计数器加1
  for(int j=2;j<=weishu;j++)
  if(i%int(pow(5,j))==0)
  {
   count++;        //若为5^j 的倍数，计数器再加1;
                       //若i有n个因子实质上count增加了n次，符合题意
  }
 }
 cout<<num<<"!的结尾有"<<count<<"个0"<<endl;

 return 0;
}