时频分析与小波变换的发展历程（二）

二、超小波分析(X-let，或多尺度几何分析)

1、自适应多尺度几何分析——指图像变换的基函数随图像内容变化而变化

1997年，Meyer和Coifman提出了Brushlet变换，即一种自适应频带分割方法。

（1）操作过程：

（2）优点：非常适合描述周期纹理图像。

（3）缺点：对于分片光滑图像的边缘不能提供稀疏表示。

1999年，美国学者Donoho提出了楔波（Wedgelet）变换。

（1）操作过程：Wedgelet是定义在正方形区域上的分片二值函数，该区域被一条直线分成两个楔块，直线的方向可以根据边缘的方向调节，用一系列不同尺寸不同方向的Wedgelet可以逼近图像的边缘轮廓。

（2） 优点：使用多尺度Wedgelet对图像轮廓进行分段线性近似，能较好地捕捉图像中的“线”和“面”的特征。

（3）缺点：没有基于临界采样的滤波器组（临界采样对于压缩是很方便的）。

1999年，美国斯坦福大学的David L. Donoho教授提出了小线（Beamlets）变换。

（1）操作过程：以各种方向、尺度和位置信息的小线段为基本单元建立小线库，沿小线库中的小线段对目标图像进行线积分产生小线变换系数，以小线金字塔方式组织变换系数，再以小线图结构为驱动从小线金字塔中提取小线变换系数，从而实现多尺度分析。

（2）优点：对于处理强噪背景的图像有无可比拟的优势。

（3）缺点：小线库（字典）、小线金字塔扫描等小线变换的前期准备工作过于庞大，需要简化以利于研究。

2000年，法国学者Pennec和Mallat提出了第一代Bandelet变换。

（1）操作过程：根据图像内容将图像分割成大小不一的矩形块，变化剧烈的区域用多一些的小矩形块分割，而变化缓慢的区域用少一些的大矩形块分割。对每一个矩形块应用和边缘同向的几何流对其进行描述。把分割方式和几何流模型作为参数，去优化一个给定的目标函数，从而得到该图像的最优表示。

（2）优点：能够自适应地跟踪图像的几何正则方向，适合图像压缩应用。能够对图像的不同变化区域给以不同的处理，并抛弃“边缘”这一不易于从数学上界定的概念，转而采用“几何流”这样一个反映图像连续区域变化的概念。

（3）缺点：没有基于临界采样的滤波器组。

2001年，Cohen和Matei提出了边缘自适应多尺度变换（Edge-Adapted Multiscale Transform）。

（1）操作过程：基于边缘方向检测的非线性多尺度变换。

（2）优点：用于图像压缩，重构图像边缘处的视觉效果明显优于小波变换。

2003年，Wakin等提出了Wedgeprint的图像稀疏表示方法。

（1）操作过程：利用Wedgelet字典（Wedgelet Dictionary）来描述图像边缘产生的小波系数。

（2）优点：能够得到比小波和Wedgelet更为稀疏的图像表示方法。

2005年，Peyre和Mallat提出了第二代Bandelet变换。

（1）操作过程：普通的二维小波变换+几何正交投影。

（2）优点：不需要计算几何流，算法更加简洁快速。

2005年，Velisavljevic等基于整数格点理论提出了一种可分离多方向多尺度图像表示方法——Directionlets。

（1）操作过程：利用拉格朗日优化算法对图像进行最优分块操作，每块图像采用不同方向的Directionlets来表示。

（2）优点：各向异性基函数Directionlets在沿着任何两个有着合理斜率的方向上都有方向消失矩（DVM）。