我的OI心得（三）之 图论（二）

树与BFS

上一章我们了解了搜索树，并想办法把他给深度优先遍历了。今天就来讲BFS，即宽度优先搜索。

如下图：

 其编号就是BFS遍历的顺序——就是按层遍历。BFS将依次遍历每一层，层层推进。这有什么好处呢？如果题目要求输出一个解，就意味着找到解就退出。如果我们估计这个解的节点的层次不很深，但是各节点的子节点都很多，那么BFS在时间上显然可以占优——DFS会一直深入下去，导致大量的浪费。此外，对于求一系列状态的最优解（要求不断更新）的问题（比如单源最短路径或动态规划），BFS可以尽可能大地将子问题重叠处理，效率较DFS高相当多：DFS先解决新问题再解决老问题，但是有相当多的问题是这样的：新问题由若干老问题决定。宽搜将老问题解决后再解决新问题，可以做到一锤定音（想想拓扑排序），而深搜则需要反复迭代。

BFS的致命弱点是空间问题。我们对于每个状态都要保存，如此根本无法解决状态过复杂的问题。究其原因，其遍历顺序是不连续的，比如我做完节点5就去做节点6，而没有什么直接的措施可以将节点5的状态转换为节点6的状态——DFS则不然，他会从5到2再到6，沿着边用全局变量走得很爽。

 因此，BFS的价值在于充分利用空间而节省时间。在时间金贵的NOIP中，BFS还是很吃香的。

 BFS的具体实现：用队列。就是说，队首碰到新状态要做了，扔队尾去，到时候再说。

 实现如下：

t1,t2:integer;{t1表示队首，t2表示队尾}

queue:array[1..1000]of node{各题表示状态不一，此处用node表示}

t1=1;

t2=1;

queue:={根节点}

repeat

u=queue[t1];{队首元素出队}

inc(t1);

{扩展u,扩产出若干节点,扔t2那头}

until t1=t2;{队列为空,做完了}

 

注意：多结合哈希表！BFS入门请寻找八数码问题或某年IOI的“魔版”，其中八数码去了解下康托展开。