法线贴图

今天终于做了个凹凸映射，前段时间又耍了不少，罪过啊。。。由于电子书上居然少了关键的一页，只好把推导记录在这个地方，顺便总结一下，也算是加深印象。

 

法线图的构造是从高度图中提取每个像素的高度，对每个像素的法向量，要计算U,V方向上的切向量，这两个切向量依赖于这个像素的相邻的两个像素的高度差，最后法向量等于这两个切向量的叉乘。由于法向量存储在纹理中，所以需要将值转换到0,255范围内。

 

 

凹凸映射的光照计算需要在切线空间（tangent space）中进行，所以需要将光线向量从模型空间（object space）转换到切线空间，以下是切线空间的构造方法：

 

我们需要的切线空间，它的X轴与贴到三角形上的纹理的U轴平行，它的Y轴与V轴平行。

假设向量T,B就是满足上面条件的两个向量，那么对于三角形内任意一点Q，都有：

 

Q − P₀ = (u − u₀)T + (v − v₀)B,

 

 

P₀是三角形的任意顶点，u_0，v₀是这个顶点的纹理坐标，u，v是Q点的纹理坐标。 这里相当于用T,B两个基向量来表示任一向量。

 

 

 

假设我们知道三角形三个顶点分别为 P₀, P₁,  P₂, 相应的纹理坐标为 (u₀, v₀), (u₁, v₁), (u₂, v₂)，这样计算可以更简单，有以下等式：

 

Q₁ = P₁ − P₀
Q₂ = P₂ − P₀

 

这是三角形顶点构成的两个向量

 

(s₁, t₁) = (u₁ − u₀, v₁ − v₀)
(s₂, t₂) = (u₂ − u₀, v₂ − v₀).

 

这是纹理坐标构成的两个向量，我们需要的就是把Q₁ Q₂变换到纹理空间上去，于是有以下等式

 

 

Q₁ = s₁T + t₁B
Q₂ = s₂T + t₂B

T,B就是用来完成这个变换的两个向量，是未知的，我们需要解上面这个方程来得到他们。

做点线性代数就能得到T,B了。

当需要找到某个顶点的切向量时，和法向量的处理方法一样，需要平均所有共享这个顶点的三角形的切向量。对于邻接的三角形面的纹理贴图不同时，共享的顶点一般都是被复制了的，有多组纹理坐标，这时不需要将不同纹理贴图的三角形进行平均。

最后，由法向量N（是顶点的原本的法向量），切向量T，副法线B组成矩阵

 T_x
T_y
T_zB_x
B_y
B_zN_x
N_y
N_z .

用于把向量从切线空间变换到模型空间。

要将向量从模型空间变换到切线空间只需要求矩阵的逆即可。由于三个向量N,T,B不一定会互相垂直，那么矩阵不一定正交，其逆阵就不等于它的转置，但是这三个向量一般接近于正交，所以用斯密特正交化，不会造成不可接受的结果。

T′ = T − (N · T)N
B′ = B − (N · B)N − (T′ · B)T′

 T′_x
B′_x
N_xT′_y
B′_y
N_yT′_z
B′_z
N_z     

这个矩阵就用来从模型空间转换到切线空间。

将光线向量从模型空间转换到切线空间后，只需要直接与法线贴图中的法向量相乘即可得到漫发射。也可以通过在原法向量和法线贴图中的法向量之间进行插值，来控制凹凸程度。注意对于未经扰动的法向量（0,0,1）经过转换成RGB颜色存储在法线贴图中变成了（0.5,0.5,1.0），所以在插值的时候不要弄错了。

成果图：

推导的原文在这里：http://www.terathon.com/code/tangent.html