poj 1456 贪婪方法的证明

题目描述

输入：n个物品，它们的价值和它们的dead line，就是在deadline之后不能再卖掉它。而且单位时间只能卖一件物品。

输出：最多获利多少。

例如

输入：4  50 2  10 1   20 2   30 1

输出：80

在第一段时间卖掉最后一个，获得30，然后在第二段时间之前卖掉第一个，获利50，共课获利80.

详情请见file:///F:/problems_2/1456%20--%20Supermarket.mht

 

贪婪方法的证明

做这道题之后，仔细想想思路。因为写程序的时候发现有很多的逻辑判断，而这些判断写错一个，结果就是错的，用什么来指导自己才能让自己程序的逻辑不出错呢？只能是深入的理解了这个方法，尽可能的抽象。

假设所有物品的deadline最大为t，在每一个时间段卖的物品为N1,N2,…,Nt.在每一时间段可以选择的物品的集合是I1,I2,…It.在每一段时间段i和该时间段之前的决策的集合是D1,D2,…,Dt.显然集合I1,I2,…It满足I1包含I2，I2包含I3，…

                       

思路如下

从时间t到时间1的时间i中，在Ii中找到最优的Ni(其中Ii去除了从i到t选择的物品)，同时将物品Ni从集合Ii中去除。

证明：用数学归纳法。也就证明若Di+1是最优的，在Di+1中取得的物体是{Ni+1,Ni+2,…,Nt},在Ii中取最大的Ni和Di+1组成集合Di，则Di也是最优的。

反证，若Di不是最优的，最优的是{Mi,Mi+1,…,Mt}.因为Di+1是最优的，

                                                                

1)      若Mi不是Ni+1,…,Nt中的一个，那么Mi<=Ni,则{Mi,Mi+1,…,Mt}不是最优的。得证。

2)      若Mi是Ni+1,…,Nt中的一个，那么用Mi替换该物品，直道Mi不是Ni+1,…,Nt中的一个，那么有上一步的证明可知{Mi,Mi+1,…,Mt}不是最优的。得证。

代码

#include <cstdio>#include <cmath>#include <algorithm>#include <float.h>using namespace std;#define M 10004struct int2 {int _x, _y;};bool Cmp(int2& ra, int2& rb){if (ra._y == rb._y)return ra._x<rb._x;return ra._y<rb._y;}int main(){ //freopen("ReadMe.txt", "r", stdin);int num;int2 inData[M];bool bUsed[M];int nSum;int nMax, nIdx;while (scanf("%d", &num) != EOF) {for (int i=0; i<num; i++)// num-1{scanf("%d %d", &(inData[i]._x), &(inData[i]._y) );}//memset(bUsed, 0, sizeof(bUsed) );sort(inData, inData+num, &Cmp);nSum = 0;for (int idt=inData[num-1]._y; idt>=1; idt--){nMax = 0;nIdx = -1;for (int i=num-1; i>=0; i--){if (inData[i]._y > idt) {if (!bUsed[i] && inData[i]._x>nMax) {nMax = inData[i]._x;nIdx = i;}}else if (inData[i]._y == idt && !bUsed[i]) {if (inData[i]._x>nMax) {nMax = inData[i]._x;nIdx = i;}break;}elsebreak;}if (nIdx != -1) {nSum += nMax;bUsed[nIdx] = true;}}printf("%d/n", nSum);} return 0;}