二分图匹配

设G=(V,{R})是一个无向图。如顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属两个不同的子集。则称图G为二分图。

    给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。

选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)

如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

最大匹配在实际中有广泛的用处，求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。即回溯法，但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。

    二分图的最大匹配有2种实现，网络流和匈牙利算法。

匈牙利算法是求解最大匹配的有效算法，该算法用到了增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：若边集合P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

由增广路径的定义可以推出下述三个结论：

    1.  P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

    2.  P经过“取反操作”（即非M中的边变为M中的边，原来M中的边去掉）可以得到一个更大的匹配M’。

3.  M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

从而可以得到求解最大匹配的匈牙利算法：

(1)置M为空

(2)找出一条增广路径P，通过“取反操作”获得更大的匹配M’代替M

(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

根据该算法，可以选择深搜或者广搜实现，下面给出易于实现的深度优先搜索（DFS）实现。

//prototype

int    n, m, match[100];                        //二分图的两个集合分别含有n和m个元素,match[i]存储集合m中的节点i在集合n中的匹配节点,初值为-1。
bool    visited[100], map[100][100];                 //map存储邻接矩阵。

bool DFS(cosnt int &k)
{
      for(int i = 0; i < m; i++)
           if( map[k][i] && !visited[i]    )

          {

               visited[i] = true;
             if( match[i] == -1 || DFS(match[i]) )   //寻找是否为增广路径

         {

           match[i] = k;            //路径取反操作。

           return true;

              }
          }
       return false;
}

 

int main(void)
{
//...........

       int     count = 0;

       memset(match, -1, sizeof(match));
       for(i = 0; i < n; i++)

      {    //以二分集中的较小集为n进行匹配较优
             memset(visited, 0,sizeof(visited));
            if( DFS(i) )     ++count;    //count为匹配数
       }
//............
return 0;
}

优点：实现简洁，容易理解，适用于边比较多的图，DFS找增广路快.

相比较而言，广度优先搜索的优点：适用于稀疏二分图，边较少，增广路较短。（BFS实现略）

 

         另外，二分图最大匹配可以转换成最大流问题来解。假设二分图的两个顶点集分别为X， Y，那么我们在图中添加一个源s，和一个汇t。同时，在s与X的每个顶点间加一条有向边(s, vx)，在Y的每个顶点与t间加一条有向边(vy, t)。X与Y的每条边也变为X－>Y的有向边。图中每条边的容量为1。则最大匹配问题就转换为求转换后的图G'的最大流的问题。利用Ford－Fulkerson方法求最大流，时间复杂度为O（VE）， V为顶点数，E为边数。具体证明参考《算法导论》。但是，经典的求二分图最大匹配的算法是Edmond于1965年提出的匈牙利算法。

题目：

JOJ 1102    Courses http://acm.jlu.edu.cn/joj/showproblem.php?pid=1102   (最基本的二分图匹配)

JOJ   2393   The problem of a CEO  http://acm.jlu.edu.cn/joj/showproblem.php?pid=2393（二分图匹配+字符串处理）

 

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