四边形不等式 hdu

四边形不等式是一种比较常见的优化动态规划的方法：

 

设m[i,j]表示动态规划的状态量。

m[i,j]有类似如下的状态转移方程：

m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]}(i≤k≤j)

如果对于任意的a≤b≤c≤d，有m[a,c]+m[b,d]≤m[a,d]+m[b,c]，那么m[i,j]满足四边形不等式。

以上是适用这种优化方法的必要条件

对于一道具体的题目，我们首先要证明它满足这个条件，一般来说用数学归纳法证明，根据题目的不同而不同。

 

通常的动态规划的复杂度是O(n³)，我们可以优化到O(n²)

设s[i,j]为m[i,j]的决策量，即m[i,j]=m[i,s[i,j]]+m[s[i,j]+j]

我们可以证明，s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]  （证明过程见下）

那么改变状态转移方程为：

 

m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]}(s[i,j-1]≤k≤s[i+1,j])

 

复杂度分析：不难看出，复杂度决定于s的值，以求m[i,i+L]为例，

(s[2,L+1]-s[1,L])+(s[3,L+2]-s[2,L+1])…+(s[n-L+1,n]-s[n-L,n-1])=s[n-L+1,n]-s[1,L]≤n

所以总复杂度是O(n²)

 

对s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]的证明：

设m_k[i,j]=m[i,k]+m[k,j]，s[i,j]=d

对于任意k<d，有m_k[i,j]≥m_d[i,j]（这里以m[i,j]=min{m[i,k]+m[k,j]}为例,max的类似），接下来只要证明m_k[i+1,j]≥m_d[i+1,j]，那么只有当s[i+1,j]≥s[i,j]时才有可能有m_s[i+1,j][i+1,j]≤m_d[i+1,j]

(m_k[i+1,j]-m_d[i+1,j])-(m_k[i,j]-m_d[i,j])

=(m_k[i+1,j]+m_d[i,j])-(m_d[i+1,j]+m_k[i,j])

=(m[i+1,k]+m[k,j]+m[i,d]+m[d,j])-(m[i+1,d]+m[d,j]+m[i,k]+m[k,j])

=(m[i+1,k]+m[i,d])-(m[i+1,d]+m[i,k])

∵m满足四边形不等式，∴对于i<i+1≤k<d有m[i+1,k]+m[i,d]≥m[i+1,d]+m[i,k]

∴(m_k[i+1,j]-m_d[i+1,j])≥(m_k[i,j]-m_d[i,j])≥0

∴s[i,j]≤s[i+1,j]，同理可证s[i,j-1]≤s[i,j]

证毕

 

 

扩展：

以上所给出的状态转移方程只是一种比较一般的，其实，很多状态转移方程都满足四边形不等式优化的条件。

解决这类问题的大概步骤是：

0.证明w满足四边形不等式，这里w是m的附属量，形如m[i,j]=opt{m[i,k]+m[k,j]+w[i,j]}，此时大多要先证明w满足条件才能进一步证明m满足条件

1.证明m满足四边形不等式

2.证明s[i,j-1]≤s[i,j]≤s[i+1,j]

 

#include<iostream>
using namespace std;
const int INF = 1 << 20 ;
const int MAXN = 1000+10;
const int MAXM = 50010;

int X[ MAXN ] , Y[ MAXN ] ;
int N ;

int dp[ MAXN ][ MAXN ] ;
int kk[ MAXN ][ MAXN ] ;
int Gao(){
 memset( dp , 0 , sizeof( dp ) ) ;
 memset( kk , 0 , sizeof( kk ) ) ;
 for( int i = 0 ; i < N ; i ++ ) kk[ i ][ i ] = i ;
 for( int m = 1 ; m < N ; m ++ ){
  for( int i = 0 ; i < N-m ; i ++ ){
   int j = i + m ;
   dp[ i ][ j ] = INF ;
   int kmin = kk[ i ][ j - 1 ];
   int kmax = min( kk[ i+1 ][ j ] , j - 1 ) ;
   
   for( int k = kmin ; k <= kmax ; k ++ ){
    int l = dp[ i ][ k ] + dp[ k+1 ][ j ] + X[ k+1 ] - X[ i ] + Y[ k ] - Y[ j ] ;
    if( dp[ i ][ j ] > l ) { kk[i][j] = k ; dp[i][j] = l ;}
   }
  }
 }
 return dp[ 0 ] [ N-1 ] ;
}

int main(){
 while( scanf("%d",&N) != EOF ){
  for( int i = 0 ; i < N ; i ++ )
   scanf("%d%d",&X[i],&Y[i]);
  printf( "%d/n" , Gao() ) ;
 }
}