hdu 3480 dp 四边形不等式优化

来源：互联网发布：司法拍卖淘宝网房产编辑：程序博客网时间：2024/04/30 09:42

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3480
给出一个数字集合 S，大小为 n，要求把这个集合分成m个子集，每分出一个子集的费用是子集中的 (max-min)^2，求最小费用。
开始的dp转移很容易想到。
首先对集合从小到大排序，dp[i][j] 表示前i个元素被分成j个子集的最小费用。然后枚举最后一个子集。

dp[i][j] = min{dp[k-1][j-1] + cost(k, i)};

这个转移明显是过不去的，n<10000 m<5000。但是我还是故意T了一发。然后用今天看的新姿势。四边形不等式优化。

这个优化看了一天，大致明白了它是根据满足四边形不等式，决策数组存在单调性，然后可以通过这个单调性得到当前决策的一个区间。使得大大的减少课枚举 K 的时间，从而降低 O(n^3) 的复杂度到 O(n^2);

我们可以证明cost(i, j)是满足四边形不等式的。然后推出dp[i][j]也满足。然后决策数组满足 s[i][j-1] <= s[i][j] <= s[i+1][j];

由此我们要先计算dp[i][j-1]和dp[i+1][j]。所以dp数组要从左下角往上枚举。即先枚举 j(1~m) 再反向枚举 i(n~1)。然后记入每一步的决策。并且k的循环可以缩小。
dp数组和决策数组的初始化要注意。

/*********************************************** ** problem ID  : hdu_3480.cpp ** create time : Sat Aug 08 15:44:32 2015 ** auther name : xuelanghu ** auther blog : blog.csdn.net/xuelanghu407 **********************************************/#include <cstdio>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;const int INF = 999999999;int n, m;int a[10010];int dp[10010][5000];int s[10010][5000];int cost (int _a, int _b) {    return (a[_b] - a[_a]) * (a[_b] - a[_a]); }int main () {    int T;    scanf ("%d", &T);    for (int i_case = 1; i_case<=T; i_case++) {        scanf ("%d%d", &n, &m);        for (int i=1; i<=n; i++) {            scanf ("%d", &a[i]);        }        sort (a+1, a+n+1);        for (int i=0; i<n; i++) {            s[i][0] = 1;        }        for (int i=1; i<=n; i++){            s[n+1][i] = n;        }        memset(dp, 0, sizeof(dp));        for (int i=1; i<=n; i++) {            dp[i][1] = cost(1, i);        }        for (int j=2; j<=m; j++) {            for (int i=n; i>=1; i--) {                dp[i][j] = INF;                for (int k=s[i][j-1]; k<=s[i+1][j]; k++) {                    if (dp[i][j] > dp[k-1][j-1] + cost(k, i)) {                        dp[i][j] = dp[k-1][j-1] + cost(k, i);                        s[i][j] = k;                    }                }            }        }        printf ("Case %d: %d\n", i_case, dp[n][m]);    }    return 0;}

这个优化我自己也不太懂，具体的内容等我搞懂了在仔细写篇blog（//说不定我就忘记了就不用写了 =。=）

0 0