pku2914（求最小割）

http://162.105.81.212/JudgeOnline/problem?id=2914

 

题意: 求一无向图的最小割，无源汇点. 500个点， 500 * 499 / 2条边 10s时间.

一个很傻很暴力的做法就是枚举源汇点求最小割，但是复杂度不是一般滴高.

下面是抄袭别人的Stoer-Wagner算法:

核心思想是迭代缩小规模, 算法基于这样一个事实:

 

对于图中任意两点s和t, 它们要么属于最小割的两个不同集中, 要么属于同一个集.

 

如果是后者, 那么合并s和t后并不影响最小割. 基于这么个思想, 如果每次能求出图中某两点之间的最小割, 然后更新答案后合并它们再继续求最小割, 就得到最终答案了. 算法步骤如下:

 

1. 设最小割cut=INF, 任选一个点s到集合A中, 定义W(A, p)为A中的所有点到A外一点p的权总和.

2. 对刚才选定的s, 更新W(A,p)(该值递增).

3. 选出A外一点p, 且W(A,p)最大的作为新的s, 若A!=G(V), 则继续2.

4. 把最后进入A的两点记为s和t, 用W(A,t)更新cut.

5. 新建顶点u, 边权w(u, v)=w(s, v)+w(t, v), 删除顶点s和t, 以及与它们相连的边.

6. 若|V|!=1则继续1.

 

看起来很简单, 每次像做最大生成树一样选最大"边"(注意, 这里其实不是边, 而是已经累计的权值之和, 就当是加权的度好了), 然后把最后进入的两个点缩到一块就可以了. 合并点最多有n-1次, 而不加堆优化的prim是O(n^2)的, 所以最终复杂度O(n^3), 要是你有心情敲一大坨代码, 还可以在稀疏图上用Fibonacci Heap优化一下, 不过网上转了一圈, 大多都是说能用Fibonacci Heap优化到怎样怎样的复杂度, 真正能自己写出来的恐怕也没几个, 看看uoregon(俄勒冈大学)的一大坨代码就有点寒. (http://resnet.uoregon.edu/~gurney_j/jmpc/fib.html)

 

特别注意几个地方, 网上的好几个Stoer-Wagner版本都存在一些小错误:

 

1. 算法在做"最大生成树"时更新的不是普通意义上的最大边, 而是与之相连的边的权值和, 当所有边都是单位权值时就是累计度.

2. "最后进入A的两点记为s和t", 网上对s有两种解释, 一是在t之前一个加进去的点, 二是t的前趋节点, 也就是最后选择的那条边的另一端. 正解是第一种!

3. 对于稠密图, 比如这题, 我用堆, 映射二分堆, 或者STL的优先队列都会TLE, 还不如老老实实O(n^3).

4. 这题数据中可能存在重边.

5. 注意判断n=0和n=1的情况. 用并查集判下连通性.

#include<iostream>using namespace std;#define V 502#define typec int // type of resconst typec inf = 0x3f3f3f3f; // max of resconst typec maxw = 10000; // maximum edge weighttypec g[V][V], w[V];int a[V], v[V], na[V];bool visit[V];typec mincut(int n) //求最小割点{int i, j, pv, zj;//typec best = maxw * n * n;//wa~~注意！！！int best = 0x7fffffff; //ac~~for (i = 0; i < n; i++) v[i] = i; // vertex: 0 ~ n-1while (n > 1) {for (a[v[0]] = 1, i = 1; i < n; i++) {a[v[i]] = 0; na[i - 1] = i;w[i] = g[v[0]][v[i]];}for (pv = v[0], i = 1; i < n; i++ ){for (zj = -1, j = 1; j < n; j++ )if (!a[v[j]] && (zj < 0 || w[j] > w[zj]))zj = j;a[v[zj]] = 1;if (i == n - 1) {if (best > w[zj]) best = w[zj];for (i = 0; i < n; i++)g[v[i]][pv] = g[pv][v[i]] += g[v[zj]][v[i]];v[zj] = v[--n];break;}pv = v[zj];for (j = 1; j < n; j++) if(!a[v[j]])w[j] += g[v[zj]][v[j]];}}return best;}int main(){int n, m, i, a, b, c;__int64 res;while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF){memset(g, 0, sizeof(g));for(i=0; i<m; i++){scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);g[a][b] += c;g[b][a] += c;}res = mincut(n);printf("%I64d/n",res);}return 0;}