USACO算法系列五——rect1

    题目：http://www.nocow.cn/index.php/Translate:USACO/rect1

    最简单的想法是声明一个N*N的二维数组，用于表示单位1的矩形，二维数组的初始值为1，表示初始的颜色。一层一层的往上覆盖，不断更新数组的颜色值，最后统计一下二维数组里面各个颜色的个数就可以得出结果了。然而这种想法存在着严重的缺陷，第一时间，每次更新都需要更新A * B的空间，因此时间为o(N*A*B)，加上最后统计，因此时间为o( A * B)，因此最后的时间为O（N*A*B），A*B已经达到1亿次了，显然会超时。第二空间，按照题目的要求 1<= A,B<= 10000，因此最大的二维数组为一个亿的空间，即使是最短的short（因为颜色有2500种），空间超过要求了。

    为了节约空间，我想了一个方法是：一个单元最后的颜色取决于最后一个矩形在这个单元上的着色。即这个单元最后落在了哪个着色矩形当中，如果把着色的矩形倒过来考虑，那么就容易多了，就是这个单元最先出现在逆序的矩形单元当中。这样就可以不必存储一个10000 * 10000的二维数组了。遗憾的是，时间并没有得到缩减，遍历一个数组的时间是o（A*B），每次遍历必须考虑N个矩形，因此时间复杂度仍然是o（N*A*B）。

    怀着侥幸的心理，我还是将他实现了一下。代码如下：

#include <iostream>#include <fstream>using namespace std;#define COLOR 2501#define NMAX 1001int a, b, n;int result[COLOR] = {0};struct Rect {int lx;int ly;int rx;int ry;int color;};Rect rect[NMAX];int getColor(int x,int y){for (int i=n; i >= 0 ; i --){if (x >= rect[i].lx && x < rect[i].rx && y >= rect[i].ly && y < rect[i].ry){return rect[i].color;}}return 0;}int main(){ifstream fin("rect1.in");ofstream fout("rect1.out");//输入数据fin >> a >> b >> n;rect[0].lx = 0;rect[0].ly = 0;rect[0].rx = a;rect[0].ry = b;rect[0].color = 1;for(int i=1; i <= n; i ++){fin >> rect[i].lx >> rect[i].ly >> rect[i].rx >> rect[i].ry >> rect[i].color;}//遍历每个单元，求颜色for (int i=0; i < a; i ++){for (int j=0; j < b; j ++){int c = getColor(i,j);result[c] ++;}}//打印结果for (int i=1; i < COLOR; i ++){if (result[i] != 0){fout << i << " " << result[i] << endl;}}fin.close();fout.close();return 0;}

     结果很显然，在TEST11的时候超时了。 

     接着昨天的内容，按单元扫描发现时间会超时，为了提速，想到了图形学里面的按行扫描填充多边形的算法。其实原理很相似，我们能不能逐行扫描，然后计算行通过矩形的长度呢？这样就可以一口气处理一行。同样的，我们将行跟逆序的矩形比较，如果这一行通过矩形，计算在通过矩形的长度，并将线段分成两段继续迭代到下一层矩形扫描。如此迭代，直到到达底层。剩下的线段就是底层的颜色长度了。代码如下：

#include <iostream>#include <fstream>using namespace std;#define COLOR 2501#define NMAX 1001int a, b, n;int result[COLOR] = {0};struct Rect {int lx;int ly;int rx;int ry;int color;};Rect rect[NMAX];//逐行扫描void scan(int height, int start, int end, int index){if (index == 0){result[1] += end - start;return;}else{//这样的线段不存在if (start >= end){return;}//是否落在矩形上if (height>= rect[index].ly && height < rect[index].ry){if (start <= rect[index].lx){if (end <= rect[index].lx){//线段在矩形左边scan(height,start,end,index-1);}else if (end > rect[index].lx && end <= rect[index].rx){//线段的左端点在矩形左侧，右端点在矩形内部result[rect[index].color] += end - rect[index].lx;scan(height,start,rect[index].lx,index-1);}else{//线段端点在矩形两侧result[rect[index].color] += rect[index].rx - rect[index].lx;scan(height,start,rect[index].lx,index-1);scan(height,rect[index].rx,end, index -1);}}//end if start <= rect[index].lxelse if (start > rect[index].lx && start < rect[index].rx){//线段左端点在内部if (end <=rect[index].rx){//右端点在内部result[rect[index].color] += end - start;}else{//右端点在矩形右侧result[rect[index].color] += rect[index].rx - start;scan(height,rect[index].rx,end, index -1);}}else{//线段在矩形右边，迭代到下一层扫描scan(height,start,end,index-1);}}else{//没有落到矩形上，迭代到下一层扫描scan(height,start,end,index-1);}//end else}//end else}int main(){ifstream fin("rect1.in");ofstream fout("rect1.out");//输入数据fin >> a >> b >> n;rect[0].lx = 0;rect[0].ly = 0;rect[0].rx = a;rect[0].ry = b;rect[0].color = 1;for(int i=1; i <= n; i ++){fin >> rect[i].lx >> rect[i].ly >> rect[i].rx >> rect[i].ry >> rect[i].color;}//行扫描算法for(int i=0; i < b; i ++){scan(i,0,a,n);}//打印结果for (int i=1; i < COLOR; i ++){if (result[i] != 0){fout << i << " " << result[i] << endl;}}fin.close();fout.close();return 0;} 

    程序运行通过了，测试时间如下：

Executing... Test 1: TEST OK [0.000 secs, 3044 KB] Test 2: TEST OK [0.000 secs, 3044 KB] Test 3: TEST OK [0.000 secs, 3044 KB] Test 4: TEST OK [0.000 secs, 3044 KB] Test 5: TEST OK [0.011 secs, 3044 KB] Test 6: TEST OK [0.000 secs, 3044 KB] Test 7: TEST OK [0.000 secs, 3044 KB] Test 8: TEST OK [0.011 secs, 3044 KB] Test 9: TEST OK [0.000 secs, 3044 KB] Test 10: TEST OK [0.000 secs, 3044 KB] Test 11: TEST OK [0.356 secs, 3044 KB]