USACO算法系列九——kimbits

    题目：http://www.nocow.cn/index.php/Translate:USACO/kimbits

   求出可以用<=K个1表示的长度为N的二进制串的最小的第I个数。又是01字符串，最先想到方法是遍历1~2^N-1的自然数，如果其中包含1的个数<=K个1表示，则计数加1，直到I为止。但是想想2^31次方可以表示接近2 0000000000的整数，肯定会超时的。

   如果把二进制串当作二叉树的叶子节点，然后采用前序遍历的方式对二叉树进行遍历，往左边走，1的个数不变，往右边走，1的个数加1，满足条件的叶子节点，计数器加1，同时对二叉树进行剪枝。

   （1）当1的个数>K的子树，可以剪枝。

   （2）当K - 1的个数 >= N - 深度，证明剩下的位数可以从全0到全1排满，而此时如果 计数器 + 2 ^ （N - 深度） < I，则计数器直接+ 2 ^ （N - 深度），跳过这个子树。这一步是很关键的。

    （3）如果N <= K，第I小的数为I-1

    （4）如果I <= 2^K -1，则最小数为 I -1

   上面四个剪枝，前两个最为关键，代码如下：

#include <iostream>#include <fstream>using namespace std;int n,l, index;int result = 0;int length =0;ifstream fin("kimbits.in");ofstream fout("kimbits.out");//分支限界//num:数值bits:位数 one:1的个数bool kimbits(int num, int bits, int one ){//截肢if(one > l){return false;}//加速if (l-one >= n-bits){int k = 1 << (n - bits);if (k + length < index){length += k;return false;}}if (bits == n || one == l){length ++;result = num << (n - bits);if (length == index){result = num << (n - bits);return true;}return false;}else{if (kimbits((num<<1),bits+1,one)){return true;}if (kimbits((num<<1) | 1, bits+1, one+1)){return true;}return false;}}void printResult(int r){for (int i=0; i < n; i ++){int temp = r >> (n-1-i);fout << (temp & 1);}fout << endl;}int main(){fin >> n >> l >> index;int start = (1 << l);if (start >= index){printResult(index -1);}else if (n == l){printResult(index-1);}else{length = start;for(int i=l; i <n; i ++){if (kimbits(1,n-i,1)){break;}}printResult(result);}return 0;}

    顺利通过了USACO的测试，速度还不错，测试结果如下：

Executing... Test 1: TEST OK [0.000 secs, 3012 KB] Test 2: TEST OK [0.011 secs, 3012 KB] Test 3: TEST OK [0.000 secs, 3012 KB] Test 4: TEST OK [0.011 secs, 3012 KB] Test 5: TEST OK [0.000 secs, 3012 KB] Test 6: TEST OK [0.011 secs, 3012 KB] Test 7: TEST OK [0.022 secs, 3012 KB] Test 8: TEST OK [0.022 secs, 3012 KB] Test 9: TEST OK [0.011 secs, 3012 KB] Test 10: TEST OK [0.000 secs, 3012 KB] Test 11: TEST OK [0.000 secs, 3012 KB] Test 12: TEST OK [0.000 secs, 3012 KB] Test 13: TEST OK [0.011 secs, 3012 KB]All tests OK.