Plóya定理 的应用

问题：对于一个n的正方形连成环，用m种颜色染色，可得到多少种不重复的不同的图像？经过旋转可以重合的染色方案视为一种。

1.对于有c种颜色，s个珠子的旋转为重复的种类一共有ans种。

算法代码如下：

for(i=1;i<=s;i++){ans+=(__int64)(pow((double)c,(int)gcd(s,i)));}printf("旋转：%I64d ",ans/s);

2.对于要考虑翻转与旋转的那么分析如下：

 

翻转 （这个要分奇偶）

奇数：

        只能对称轴穿过某颗珠子，循环个数为(n+1)/2，共有n个这样的循环群；

偶数：

        对称轴过两个珠子，循环个数(n+2)/2，共有n/2个这样的循环群；

       对称轴过两个相邻珠子的，循环个数n/2，共有n/2个这样的循环群。

 

对于有c种颜色，s个珠子的翻转为重复的种类一共有ans种。

if(s&1) //为奇数时{ans+=(__int64)(pow((double)c,(int)(s+1)/2)*s);}else //为偶数时{ans+=(__int64)(pow((double)c,(int)s/2)*(s/2))ans+=(__int64)(pow((double)c,(int)(s+2)/2)*(s/2));}printf("翻转：%I64d ",ans/2);

综合考虑如下：

对于c种颜色，s种珠子，要考虑旋转与翻转的情况如下，有ans种方案（AC代码如下）

http://poj.org/problem?id=2409

//Plóya定理的应用，要记得考虑是否要考虑旋转或者翻转等问题#include<stdio.h>#include<math.h>int gcd(int a,int b){if(b==0)return a;elsereturn gcd(b,a%b);}int main(){//freopen("in.txt","r",stdin);int c, s, i;__int64 ans,t;while(scanf("%d%d",&c,&s)){if(c==0 && s==0)break;ans = 0;for(i=1; i<=s; i++)//考虑旋转的情况{ans += (__int64)pow(double(c),(int)gcd(s,i));}//printf("旋转的情况：%d/n",ans/s);//t=ans;//考虑翻转的情况if(s&1)//珠子数为奇数{ans += (__int64)pow(double(c),(int)((s+1)/2))*s;}else{ans += (__int64)pow(double(c),(int)(s/2))*(s/2);ans += (__int64)pow(double(c),(int)((s+2)/2))*(s/2);}printf("%I64d/n",ans/(s*2));}return 0;}