【KM算法小结】
来源：互联网 发布：中国软件产业协会 编辑：程序博客网 时间：2024/06/09 17:47
最近学习了下KM算法，发现异常的好编，而且思想非常巧妙，通过顶标，相当于是迭代最优解再验证可行性的算法。
百度百科上写的非常通俗：
初始时为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，令A[ i ]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配，就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了，是因为对于某个X顶点，我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树，它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d，Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：
1）两端都在交错树中的边(i,j)，A[ i ]+B[j]的值没有变化。也就是说，它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
2）两端都不在交错树中的边(i,j)，A[ i ]和B[j]都没有变化。也就是说，它原来属于（或不属于）相等子图，现在仍属于（或不属于）相等子图。
3）X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图，现在仍不属于相等子图。
4）X端在交错树中，Y端不在交错树中的边(i,j)，它的A[ i ]+B[j]的值有所减小。也就说，它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图，因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。为了使A[ i ]+B[j]>=w[i,j]始终成立，且至少有一条边进入相等子图，d应该等于：
Min{A[ i ]+B[j]-w[i,j] | Xi在交错树中，Yi不在交错树中}。
关于这个d值首先显然遇过d值如果更小了不会使得交错数有所增广，大了有可能会跳过最优解，这是自己的理解。
还有一个【“松弛量”函数slack】的常数优化，在二分图为完全二分图的情况下，可以快很多。
其实KM算法可以做的费用流也可以做，但是在KM算法中隐含了一个数学模型，那就是满足所有A[ i ]+B[j]>=w[i,j]恒成立，最小化{∑A[i]+∑B[i]}。
POJ2195KM代码：
