一、图的一些基本概念

一 图基本

      图这个东西博大精深，而且有图论这门学科，虽然选修过，但最后自己剩下的东西真的不多，而且这玩意需要及时的回顾，不然很容易就忘了。

      Kongsiberg七桥问题是很经典的图引入问题，涉及到Euler环和一笔画问题。

      一个图，简单说来是由顶点和边组成，我们可以用一个三元组描述即G=（V,E,I),V为图总顶点集合，E为边的集合，I为关联关系。而且图能分为有向图和无向图。

      顶点v的度数记为d(v)，图中必有： 所有顶点的度数之和是边数之和的两倍，应为一条边相当于连接了两个顶点，即算度数的时候*2。另外，在图中，度数为奇的顶点个数一定为偶数个，因为最后总度数一定为偶。在实际中的应用有：在一个宴会上，同奇数个人握手的人数个数一定为偶。

       途径：顶点和边交叉出现。

       迹：边不重复的途径。

       路：顶点不重复的途径。（路比迹更严格）

       连通的（任意两点之间有途径），连通分支数。

       不含圈的连通图成为树。一棵n顶点树的边数恰为n-1。由连通图可以获得其生成树。

       不含圈的图成为森林。

       子图：G¹=(V₁,E₁)是G的子图，则V₁是V的子集，同时E₁是E的子集。

       生成子图：比子图要求多点，顶点不变，边是原图的子集。

       图还可以分为：有向图和无向图。有向图有出度和入度，出为d⁺(v)入为d^-(v)，且在有向图中两者相等。有向图中有连通和强连通之分，强连通双向，有向图的连通是指有向图的基础图连通（即把有向边当作普通边，有向图成为了无向图）。

       定理：若G是具有n个顶点，m条边的图，则下列成立：

       ①若G是树，则m=n-1；

       ②G为连通图，且m=n-1，则G为树；

       ③G不包含圈，且m=n-1，则G为树；

       ④若G由k个树组成，则m=n-k；

       ⑤若G有k个连通分支，且m=n-k，则G为森林。

       图的实现：主要有邻接矩阵（维度上都是顶点），关联矩阵（顶点和边各占一个维度），邻接链表

       图的遍历：宽度优先搜索算法（BFS）和广度优先搜索算法（DFS）。

       在BFS中，当搜索到某个顶点时候，就要依次将该顶点的所有相邻顶点访问；在DFS中，当搜索到某个顶点时候，继续纵深搜索与该节点相邻的其他一个未搜索过的顶点。前者可以用队列实现，后者可以用战实现。在实现的过程中，可以加入程序，以生成相应的生成树。

二 树相关

       树中，从根到每个叶子节点都有一条唯一的路，树中最长路的长度为该树的高度，顶点的深度（根到顶点的路长），顶点的层次（从下往上）。

        二叉树（每个顶点最多有两个儿子的树）。满二叉树，即出了叶子节点，每个顶点都有两个孩子。完全二叉树，为满二叉树的一部分。

        二叉树的一些基本算法有：先序（先根），中序（中根），后序（后根）。

三 图的表示

        主要有两种：邻接矩阵和邻接表